En géométrie différentielle, lorsqu'on étudie une courbe (resp. une surface), il existe une condition suffisante simple portant sur des dérivées d'ordre 1 pour que la courbe admette une tangente (resp. un plan tangent) en un point. Si cette condition est réalisée, le point en question est dit régulier.
La condition de régularité prend diverses formes suivant le type de définition choisi pour l'objet géométrique.
Courbes Arcs paramétrés
Si f est une fonction de l'intervalle I dans l'espace E, de classe , on dit que le point de paramètre t est régulier quand le vecteur dérivé f(t) est non nul. Il dirige alors la tangente en ce point.
Dans le cas particulier d'un graphe de fonction numérique de classe , la condition de régularité est toujours vérifiée.
Dans le cas particulier d'une courbe paramétrée par l'angle polaire , le vecteur dérivé est donné par dans le repère mobile. Tous les points autres que l'origine sont donc réguliers.
Courbes implicites Soit la courbe du plan d'équation cartésienne et un point appartenant à la courbe. Il est dit régulier quand le gradient de f est non nul en ce point. Et dans ce cas, la tangente est orthogonale au vecteur gradient.
Surfaces Nappes paramétrées
Si f est une fonction de U dans l'espace E, de classe , on dit que le point de paramètre (t,u) est régulier quand les vecteurs dérivés sont indépendants. Ils engendrent alors le plan tangent en ce point.
Surfaces implicites Soit la surface d'équation cartésienne et un point appartenant à la courbe. Il est dit régulier quand le gradient de f est non nul en ce point. Et dans ce cas, le plan tangent est orthogonal au vecteur gradient.
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Catégorie:Géométrie différentielle classique