En théorie des nombres, Sophie Germain a démontré le théorème suivant, au cours de ses recherches sur le dernier théorème de Fermat.
Remarques A fortiori, l'un au moins des trois est divisible par p (c'est ce qu'on appelle le « premier cas » du dernier théorème de Fermat). C'est le plus souventMême dans ou . sous cette forme amoindrie et parfois pireVoir les commentaires et références de et . que le théorème de Sophie Germain est énoncé. Un « auxiliaire » de p est nécessairement de la forme 2Np + 1 pour un certain entier N. Si p est un nombre premier de Sophie Germain, l'existence d'un θ auxiliaire est assurée : il suffit de prendre θ = 2p + 1. Mais le théorème de Sophie Germain s'applique à d'autres situations (par exemple : p = 3, θ = 13). Elle exhiba un tel θ pour tout premier p < 100, et calcula même, pour ces p, tous les entiers N ≤ 10 pour lesquels 2Np + 1 est un auxiliaire. Sophie Germain démontra ce théorème comme corollaire d'un autre de ses théorèmes, moins connu : sous les mêmes hypothèses, l'un au moins des trois entiers x, y, z est divisible par θ. Ce résultat était bien plus crucial dans son approche du dernier théorème de Fermat : elle espérait en effet parvenir à montrer que pour une infinité de nombres premiers p, peut-être même tous sauf un nombre fini, le nombre d'auxiliaires θ est infini. Elle avait démontré que 3 n'a que deux auxiliaires : 7 et 13. Mais son « grand plan » était voué à l'échec : en 1829, Libri démontra que 3 et 4 n'ont qu'un nombre fini d'auxiliaires et affirma la même chose pour tout nombre premier plus grand, ce que Dickson confirma en 1909.. L'hypothèse 1 équivaut à, .. l'hypothèse 1' suivante : si x + y ≡ z mod θ alors l'un au moins des trois entiers x, y, z est divisible par θ.
Démonstration Supposons que x + y = z. Notons a = x/d, b = y/d et c = –z/d où d est le PGCD de x, y et z. Alors, a + b + c = 0 et a, b, c sont premiers entre eux deux à deux. Les entiers
vérifient les identités remarquables :
p est le seul facteur premier possible commun à b + c et A (et de même pour c + a et B et pour a + b et C) : a, b ou c est divisible par p :
D'après l'hypothèse 1' (équivalente à 1), on peut supposer par exemple que c est divisible par θ. Alors, θ ne divise ni α ni β (diviseurs respectifs de a et b donc premiers avec c) mais il divise 2c = α + β – γ donc, à nouveau d'après l'hypothèse 1', il divise γ. Donc mod θ, a + b = γ ≡ 0 et γ = C ≡ pa ≡ pβ si bien que p est une puissance p-ième, ce qui contredit l'hypothèse 2. a, b ou c est même divisible par p :
Notes et références
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