En géométrie, un tétraèdre orthocentrique, est un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes. Leur point de concours est alors désigné comme l'orthocentre du tétraèdre.
Il a été étudié par Simon Lhuilier en 1782., puis par Gaston de Longchamps en 1890, qui lui a donné son nom..
Le tétraèdre régulier et le tétraèdre trirectangle en sont des cas particuliers, mais pas le tétraèdre quadrirectangle. vignette|redresse=1
Caractérisations Orthogonalité des arêtes opposées Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
De plus la relation dite d'Euler montre qu'il suffit que deux couples d'arêtes opposées soient formés d'arêtes orthogonales pour que les trois le soient.
Pieds des hauteurs Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si les pieds des quatre hauteurs sont les orthocentres des faces, et il suffit qu'un pied de hauteur le soit pour que le tétraèdre soit orthocentrique.Implication directe :
Reprenant la démonstration précédente, la droite du plan orthogonal à est orthogonale à ; c'est donc la hauteur issue de dans le triangle . Mais par symétrie des hypothèses, les droites et sont les deux autres hauteurs du triangle : en est donc l'orthocentre, et de même pour .
Réciproque :
Supposons que soit l'orthocentre de . Le plan contient les droites et qui sont orthogonales à , il est donc orthogonal à . La droite qui est dans ce plan est donc orthogonale à et on pourrait faire de même avec les autres paires d'arêtes opposées. On obtient donc un tétraèdre orthocentrique quelconque en partant d'un triangle et en prenant le quatrième sommet sur la perpendiculaire au plan de ce triangle passant par l'orthocentre.
Parallélépipède circonscrit vignette|Un tétraèdre ABCD et son parallélépipède circonscrit. a pour coordonnées barycentriques dans , et ainsi de suite. On peut inscrire un tétraèdre dans le parallélépipède dont les trois paires de faces parallèles sont incluses dans les paires de plans parallèles contenant deux arêtes opposées.
Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si ce parallélépipède circonscrit a ses arêtes de même longueur, autrement dit est un rhomboèdre.
En effet, dans le tétraèdre, deux arêtes opposées sont orthogonales si et seulement si les faces correspondantes du parallélépipède circonscrit sont des losanges (car un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont orthogonales). Si quatre faces d'un parallélépipède sont des losanges, alors toutes les arêtes ont des longueurs égales et les six faces sont des losanges ; il s'ensuit que si deux paires d'arêtes opposées dans un tétraèdre sont formées d'arêtes orthogonales, alors la troisième paire a la même propriété et le tétraèdre est orthocentrique.
Relation métrique Un tétraèdre ABCD est orthocentrique si et seulement si la somme des carrés des longueurs de deux arêtes opposées est la même pour les trois paires d'arêtes opposéesReiman, István, "International Mathematical Olympiad: 1976-1990", Anthem Press, 2005, pp. 175-176.Hazewinkel, Michiel, "Encyclopaedia of mathematics: Supplement, Volym 3", Kluwer Academic Publishers, 1997, p. 468. :
En fait, il suffit que seulement deux paires d'arêtes opposées satisfassent cette condition pour que le tétraèdre soit orthocentrique. On part de .
Il en résulte que si et seulement si les arêtes et sont orthogonales. En écrivant la même relation pour les arêtes et , on obtient bien cette condition nécessaire et suffisante.
Bimédianes Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si ses trois bimédianes (joignant les milieux de deux arêtes opposées) ont la même longueur .
En effet, les bimédianes sont les segments joignant les centres de deux faces opposées du parallélépipède circonscrit, lesquels ont même longueur que les arêtes qui leur sont parallèles ; elles sont donc de même longueur si et seulement si les arêtes du parallélépipède ont même longueur. vignette|300x300px|Les extrémités des bihauteurs sont les pieds des hauteurs des faces.
Bihauteurs Dans un tétraèdre orthocentrique, les bihauteurs (perpendiculaires communes à deux arêtes opposées) concourent à l'orthocentre.
Le point appartient au plan qui est le plan contenant et orthogonal à ; il appartient aussi au plan qui est le plan contenant et orthogonal à ; il appartient donc à leur intersection qui est la bihauteur perpendiculaire commune à et . De même, il appartient aux deux autres bihauteurs.
Réciproquement, un tétraèdre dont les bihauteurs sont concourantes est orthocentrique, équifacial, ou formé d'un losange gauche et de ses diagonales .
Point de Monge et droite d'Euler
On a le théorème suivant, dû à Monge :
Si le tétraèdre n'est pas équifacial, auquel cas , ces trois points sont donc alignés sur une droite, dite d'Euler par analogie avec le cas du triangle. Et lorsque le tétraèdre est orthocentrique, le point de Monge coïncide avec l'orthocentre .
On pose le symétrique de par rapport à .
Soient et les milieux respectifs de [] et [] ; on va montrer que ; comme () est orthogonale à () cela prouvera que le plan passant par et orthogonal à passe par , et, par symétrie, la même propriété pour les six plans similaires.
On peut écrire : ; or , donc et .
Si le tétraèdre est orthocentrique, le plan passant par le milieu de et orthogonal à est le plan contenant et orthogonal à . Raisonnant de même pour la plan passant par le milieu de et orthogonal à , on obtient que le point appartient à leur intersection qui est la bihauteur associée à et . Il appartient donc aux trois bihauteurs, qui concourent en ; donc .
vignette|350x350px|Intersection de la première sphère avec une face.
Sphères d'Euler
Première sphère d'Euler Les quatre milieux des arêtes, et les huit pieds des perpendiculaires communes aux arêtes opposées sont douze points d'une même sphère de centre . Les intersections de la sphère avec les faces sont leurs cercles d'Euler.
Deuxième sphère d'Euler Les quatre points situés au tiers des segments joignant aux sommets, les quatre pieds des hauteurs, et les quatre centres de gravité des faces sont douze points d'une même sphère centrée sur la droite d'Euler en vérifiant . Elle est l'image de la sphère circonscrite par l'homothétie de centre et de rapport -1/3 .vignette|300x300px|Droite d'Euler avec les points remarquables . Le point ajouté est le point de concours des perpendiculaires aux plan des faces en leur centre de gravité.|centré
Volume du tétraèdre orthocentrique Une première formule est
où sont les longueurs de deux arêtes opposées, et leur distance.
La caractérisation concernant les arêtes implique que si seulement quatre des six arêtes d'un tétraèdre orthocentrique sont de longueur connue, les longueurs des deux autres peuvent être calculées si elles ne sont pas opposées l'une à l'autre. Par conséquent, le volume d'un tétraèdre orthocentrique peut être exprimé en termes de quatre longueurs d'arêtes . La formule est.
où sont les longueurs des arêtes d'une même face, le demi-périmètre de cette face, et la longueur de l'arête opposée à celle de longueur .
Articles connexes Tétraèdre équifacial Tétraèdre trirectangle Quadrangle orthocentrique, tétraèdre orthocentrique aplati
Références
Orthocentrique