vignette| Un tétraèdre trirectangle construit sur un trièdre trirectangle. En géométrie, un tétraèdre trirectangle est un tétraèdre dont trois faces sont des triangles rectangles dont les angles droits aboutissent au même sommet. Ce sommet est l'orthocentre du tétraèdre, lequel est donc orthocentrique. La face opposée à ce sommet s'appelle la base. La perpendiculaire à la base issue de est appelée la hauteur du tétraèdre (les autres hauteurs étant les arêtes issues de ).

Coordonnées des points remarquables Soient les sommets de la base, ; dans le repère orthonormé , on a les expressions suivantes :

le centre de gravité qui est à la fois l'isobarycentre des sommets et le centre d'inertie du solide tétraédrique homogène.

On peut le montrer en faisant . et de façon similaire pour et .

le centre de gravité de la base le centre de la sphère circonscrite , laquelle est de rayon L'équation du plan de la base :

Formules métriques Le tétraèdre trirectangle a pour volume

La longueur de la hauteur satisfait Eves, Howard Whitley, "Great moments in mathematics (before 1650)", Mathematical Association of America, 1983, p. 41.

L'aire de la base est donnée par

Construction vignette|350x350px Un patron du tétraèdre trirectangle est formé d'un triangle (qui sera la base du tétraèdre) et de trois triangles rectangles aux hypoténuses égales aux côtés du triangle de base.

Posant , on doit avoir les relations permettant de construire la base à partir des triangles rectangles :

ou bien, permettant de construire les triangles rectangles à partir de la base, qui doit être un triangle acutangle :

Théorème de de Gua

Si l'aire de la base est et les aires des trois autres faces (à angle droit) sont , et , alors

C'est une généralisation au tétraèdre trirectangle du théorème de Pythagore.

Cas particulier Si la base est équilatérale, ce qui équivaut à , on parle de tétraèdre trirectangle régulier, bien que ce ne soit pas un polyèdre régulier .

Parallélépipède circonscrit vignette Le parallélépipède circonscrit a pour sommets .

C'est un rhomboèdre de longueur d'arête , et dont les quatre diagonales ont aussi pour longueur .

Articles connexes Simplexe Brique Euler, tétraèdre trirectangle dont les six arêtes ont des longueurs entières.

Références

Trirectangle