En théorie algébrique des nombres, le conducteur d'une extension abélienne finie de corps locaux ou globaux fournit une mesure quantitative de la ramification dans l'extension. La définition du conducteur est liée à la réciprocité d'Artin.

Conducteur local Soit L/K une extension abélienne finie de corps locaux non-archimédiens. Le conducteur de L/K, noté , est le plus petit entier non négatif n tel que le groupe unitaire supérieur

est contenu dans NL/K(L×), où NL/K est la norme et est l'idéal maximal de K. De manière équivalente, n est le plus petit entier tel que le morphisme d'Artin locale soit triviale sur . Parfois, le conducteur est défini comme où n est comme ci-dessusAs in .

Le conducteur d'une extension mesure la ramification. Qualitativement, l'extension est non-ramifiée si, et seulement si, le conducteur est nul, et elle est modérément ramifiée si, et seulement si, le conducteur est 1. Plus précisément, le conducteur calcule la non-trivialité des groupes de ramification supérieure : si s est le plus grand entier pour lequel le groupe de ramification supérieure Gs est non trivial, alors .

Le conducteur de L/K est également lié aux conducteurs d'Artin de caractères du groupe de Galois Gal(L/K). Plus précisément,

où χ varie sur tous les caractères complexes de Gal(L/K), est le conducteur d'Artin de χ, et ppcm est le plus petit commun multiple.

Corps généraux Le conducteur peut être défini de la même manière pour L/K une extension galoisienne finie non nécessairement abélienne de corps locauxAs in Cependant, il ne dépend que de Lab/K, l'extension abélienne maximale de K dans L, grâce au théorème de limitation de norme, qui stipule que, dans cette situation.

De plus, le conducteur peut être défini lorsque L et K sont autorisés à être légèrement plus généraux que locaux, à savoir s'il s'agit de corps valués complets avec un champ résiduel quasi-finiAs in . This is the situation in which the formalism of local class field theory works..

Conducteur global

Corps de nombres Le conducteur d'une extension abélienne L/K de corps de nombres peut être défini, de manière similaire au cas local, à l'aide de la réciprocité d'Artin. Plus précisément, soit θ : Im → Gal(L/K ) soit l'application globale d'Artin où le module m est un module définissant L / K ; on dit que la réciprocité d'Artin tient pour m si θ se factorise par le m. On définit le conducteur de L/K, noté , le facteur commun le plus élevé de tous les modules pour lesquels la réciprocité est valable ; en fait, la réciprocité vaut pour , c'est donc le plus petit de ces modulesSome authors omit infinite places from the conductor, e.g. .

Exemple

Prenant comme base le corps des nombres rationnels, le théorème de Kronecker-Weber énonce qu'un corps de nombres algébriques K est abélien sur Q si et seulement s'il s'agit d'un sous-corps d'un corps cyclotomique , où désigne une racine primitive n ième de l'unité. Si n est le plus petit entier pour lequel cela est vrai, le conducteur de K est alors n si K est fixe par conjugaison complexe et autrement. Soit où d est un entier sans carré. Alors,

où est le discriminant de .

Relation avec les conducteurs locaux et ramification Le conducteur global est le produit de conducteurs locauxFor the finite part , and for the infinite part :

Par conséquent, un nombre premier fini est ramifié dans L/K si, et seulement si, il divise . Un premier infini v apparaît dans le conducteur si, et seulement si, v est réel et devient complexe dans L.

Notes

Références

Catégorie:Théorie des corps de classes