En mathématiques, un espace classifiant pour un groupe topologique est la base d’un fibré principal particulier appelé fibré universel, induisant tous les fibrés ayant ce groupe de structure sur n’importe quel CW-complexe par image réciproque ().
Dans le cas d’un groupe discret, la définition d’espace classifiant correspond à celle d’un espace d'Eilenberg-MacLane , c’est-à-dire un espace connexe par arcs dont tous les groupes d'homotopie sont triviaux en dehors du groupe fondamental (lequel est isomorphe à ).
La notion s’étend avec celle d’espace classifiant d’une catégorie, qui est une réalisation géométrique de son nerf.
Exemples Le cercle est l’espace classfiant pour son groupe d’homotopie par le revêtement infini . Plus généralement le tore de dimension est classifiant pour le groupe abélien libre .
D’autres espaces sont classifiants pour leur groupe d’homotopie : les variétés hyperboliques et en particulier les surfaces fermées (compactes et sans bord) connexes de genre strictement supérieur à 1 le bouquet de cercles pour le groupe libre avec générateurs.
L’espace de configurations non ordonnées de points dans le plan classifie le groupe de tresses à brins. Le sous-groupe des tresses pures est classifié par l’espace des configurations ordonnées. En considérant les configurations non ordonnées de points dans l’espace de dimension infinie , on trouve l’espace classifiant du groupe symétrique : .
Le groupe à deux éléments est classifié par l’espace projectif réel infini via son revêtement universel .
Le classifiant du groupe orthogonal des isométrie de est la grassmannienne , dont les éléments sont les sous-espaces vectoriels de dimension dans .
Notes et références
Bibliographie . .
Liens externes
Catégorie:Topologie algébrique