David Hilbert, né en 1862 à Königsberg et mort en 1943 à Göttingen, est un mathématicien allemand. Il est souvent considéré comme l'un des plus grands mathématiciens du . Il a créé ou développé un large éventail d'idées fondamentales, que ce soit la théorie des invariants, l'axiomatisation de la géométrie ou les fondements de l'analyse fonctionnelle (avec les espaces de Hilbert).
L'un des exemples les mieux connus de sa position de chef de file est sa présentation, en 1900, de ses fameux problèmes qui ont durablement influencé les recherches mathématiques du . Hilbert et ses étudiants ont fourni une portion significative de l'infrastructure mathématique nécessaire à l'éclosion de la mécanique quantique et de la relativité générale.
Il a adopté et défendu avec vigueur les idées de Georg Cantor en théorie des ensembles et sur les nombres transfinis. Il est aussi connu comme l'un des fondateurs de la théorie de la démonstration, de la logique mathématique et a clairement distingué les mathématiques des métamathématiques.
Biographie David Hilbert vient au monde le à Königsberg au sein d'une famille protestante de la classe moyenne installée depuis déjà deux générations dans la capitale de la Prusse-Orientale. Le père de Hilbert, qui occupe le poste de juge de sa ville, inculque à ses enfants les strictes valeurs prussiennesC'est-à-dire ponctualité, discipline et sens du devoir .. La mère, en revanche, est passionnée par la philosophie, l'astronomie et les nombres premiers. Hilbert fréquente le lycée et, au cours de sa scolarité, montre déjà un caractère énergique, têtu et déterminé. Il se passionne néanmoins très tôt pour les arts et la littérature tout en s'intéressant fortement aux mathématiques .
En 1880, il passe un examen pour entrer à l'université de Königsberg et choisit la filière mathématique. Il y obtient son doctorat sous la supervision de Ferdinand von Lindemann. En 1885, il remet sa thèse intitulée Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen (Sur les propriétés invariantes des formes binaires spéciales, particulièrement les fonctions circulaires). À la même période, Hermann Minkowski fréquente la même université. Les deux étudiants deviennent de bons amis et à partir de cette époque chacun a, à un moment ou un autre, une influence marquée sur la carrière scientifique de l'autre.
Le titre de docteur en poche, Hilbert se prépare à passer une habilitation afin d'obtenir le statut de privatdozentLe statut de privatdozent, qui permet de donner des cours à l'université, n'est pas rémunéré par l'institution, mais grâce aux frais d'inscription des étudiants .. Pour ce faire, devant présenter de façon innovante sa contribution à la recherche, il part à la rencontre de Felix Klein, une des sommités des mathématiques de l'époqueQuelques années plus tard, Klein dira qu'il sut immédiatement que ce jeune homme allait marquer le futur des mathématiques .. Sur ses conseils, Hilbert se rend à Paris où il fait la connaissance d'Henri Poincaré, le principal représentant des mathématiques françaises, qui cherchaient à supplanter les brillantes mathématiques allemandes. C'est d'ailleurs pour cette raison que Poincaré et Hilbert n'ont pas sympathisé, et force est de constater que Poincaré et Klein ne s'entendent pas non plus. Au cours du voyage qui le ramène à Königsberg, Hilbert s'arrête à l'université de Göttingen où Klein vient de s'installer. Par son intermédiaire, il entre en contact avec Paul Gordan, l'un des plus grands experts de la théorie des invariants, domaine dans lequel Hilbert connaîtra son premier grand succès.
vignette|upright=1.0|gauche|David Hilbert en 1886.
Dès 1886, Hilbert enseigne à l'université de Königsberg en tant que privatdozent et, en 1892, il y est nommé professeur titulaire. Bien qu'il soit un excellent professeur, peu d'étudiants viennent suivre ses cours. Loin d'en être découragé, il envisage cette période comme un processus de maturation lente mais continue. La même année, il épouse Käthe Jerosch (1864-1945) et, l'année suivante, ils ont un fils prénommé FranzIl souffrit dès la plus tendre enfance d'une grave pathologie mentale. Lorsqu'on lui diagnostiqua une schizophrénie, son père l'interna dans un asile où il passa une grande partie de sa vie. Dès lors, Hilbert décida de faire comme s'il n'avait jamais eu d'enfant. Il vécut jusqu'en 1969 .. En 1895, sur la proposition de Felix Klein, il est nommé à la chaire de mathématiques de la prestigieuse université de Göttingen, considérée comme le meilleur centre de recherches en mathématiques au monde. Hilbert y reste jusqu’à sa retraite en 1930, malgré d'autres offres.
Le , Hilbert donne une conférence intitulée La connaissance de la nature et la logique à la . Peu après, il lit à la radio allemande une partie de sa conclusion : Faisant ici référence à la locution latine qui signifie , il poursuit en affirmant que pour lui il n’y a pas d. Dans cette conclusion il propose un slogan resté célèbre (et qui est gravé sur sa tombe) : soit Un jour avant qu'il prononce cette phrase, Kurt Gödel remet sa thèse qui contient son théorème de complétude, qui concerne la logique du premier ordre. L'entreprise semble donc sur de bons rails. Ironiquement, un an plus tard, ce même Gödel démontre son fameux théorème d'incomplétude, résultat qui oblige à relativiser, voire à abandonner le programme de Hilbert.
Avec l'arrivée au pouvoir de Hitler en 1933, Ludwig Bieberbach, affilié au parti nazi, est propulsé au sommet des mathématiques allemandes et encourage des mathématiques « aryennes ou allemandes » (Deutsche Mathematik). Les professeurs juifs, désormais exclus de l'enseignement, perdent leur poste l'un après l'autre. L'institut de mathématique de Göttingen est bientôt démantelé et son prestige international sapé, au grand dam de Hilbert. Hermann Weyl, qui avait finalement été choisi pour lui succéder, doit quitter le paysIl était aryen mais son épouse était juive ., Emmy Noether, Richard Courant, Edmund Landau et Otto BlumenthalLe malheureux Blumenthal émigra aux Pays-Bas où il se trouva bloqué, ensuite déporté dans le tristement célèbre ghetto de Theresienstadt où il mourut . aussi. Paul Bernays, collaborateur de Hilbert en logique mathématique et coauteur avec lui de Grundlagen der Mathematik, un important livre paru en deux volumes en 1934 et en 1939, quitte l'Allemagne à la suite des pressions des nazis. Leur ouvrage était la suite du livre publié par Hilbert et Ackermann : Principes de logique théorique (1928).
Environ une année plus tard, Hilbert, invité à un banquet, est assis à côté du ministre nazi de l'Éducation Bernhard Rust. À la question de Rust : , Hilbert réplique :
Lorsque Hilbert meurt en 1943, les nazis ont complètement restructuré l'université, tous les Juifs et conjoints de Juifs forcés de partir, certains ayant réussi à fuir l'Allemagne, d'autres déportés. Environ une douzaine de personnes assistent à ses funérailles, deux seulement étant des ex-collègues. Sur sa tombe à Göttingen, on peut lire cette épitaphe : soit :
Le maître et ses disciples Otto Blumenthal, le premier des 69 élèves qui terminèrent leur doctorat sous sa direction se souvient, quarante ans plus tard, de l'impression que Hilbert avait faite à son arrivée à Göttingen :
Parmi les autres disciples de Hilbert, citons Hermann Weyl, Max Dehn, Erhard Schmidt, Richard Courant, Ernst Zermelo, le célèbre champion du monde d'échecs Emanuel Lasker, Carl Gustav Hempel, Klara Löbenstein, John von Neumann qui était son assistant. Hermann Weyl se distingua particulièrement puisqu'il termina son doctorat sous la direction de Hilbert en 1908 et lui succéda lorsqu'il se retira en 1930.
Hilbert se montra toujours très pédagogue avec ses étudiants, les aidant dès qu'il le pouvait. Par exemple, lorsque des voix s'élevèrent contre la nomination de la jeune et éminente mathématicienne Emmy Noether comme professeur à Göttingen, Hilbert se dressa contre ses collègues les plus réactionnaires, déclarant avec ironie
À l'université de Göttingen, le cercle d'amis de Hilbert était composé des meilleurs mathématiciens du , tels Emmy Noether et Alonzo Church.
La science et la Grande Guerre En 1914, une grande partie des Européens accueillent la Première Guerre mondiale avec un immense enthousiasme. Hilbert, lui, insiste, depuis les premiers moments, sur l'absurdité de ce conflit. En , 93 intellectuels renommés écrivent un manifeste « à l'adresse des nations civilisées » en réaction à l'indignation croissante soulevée par les actions de l'armée allemande.
Immergé dans cette atmosphère clairement nationaliste, Felix Klein signe la déclaration de soutien à la politique du Kaiser. Hilbert est également encouragé à y souscrire, mais il refuse, arguant simplement qu'il ne sait pas si les accusations portées contre l'Allemagne sont vraies ou fausses. Cette position est proche de celle d'Einstein qui, fidèle à son pacifisme, s'abstient de signer le manifeste. En outre, en 1917, au beau milieu du conflit, Hilbert publie une nécrologie laudative de Gaston Darboux, un illustre mathématicien français qui venait de décéder. Lorsque des étudiants assiègent sa maison, lui demandant de corriger cette note à la mémoire d'un mathématicien ennemi, Hilbert répond en exigeant d'eux une excuse formelle .
Pour toutes ces raisons, ses collègues européens le considèrent comme un esprit libre, qui ne s'embarrasse pas des convenances et des coutumes. À la fin de la guerre, avec la déroute incontestable de l'Allemagne, sa réputation n'est pas salie. Lors du premier congrès international des mathématiciens de l'entre-deux-guerres , il insiste sur l'universalité des mathématiques et souligne que toutes les frontières sont contre-nature.
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Travaux On retient de lui notamment sa liste de 23 problèmes, dont certains ne sont toujours pas résolus aujourd'hui, qu'il présenta le à la Sorbonne, au deuxième congrès international des mathématiciens à Paris.
Ses contributions aux mathématiques sont nombreuses : Consolidation de la théorie des invariants, qui était le sujet de sa thèse. L'axiomatisation de la géométrie euclidienne, parue dans ses (Les fondements de la géometrie). Travaux sur la théorie algébrique des nombres, reprenant et simplifiant, avec l'aide de Minkowski, les travaux de Kummer, Kronecker, Dirichlet et Dedekind, et les publiant dans son (Rapport sur les nombres). Apport des espaces de Hilbert, lors de ses travaux en analyse sur les équations intégrales. Apport sur les bases mathématiques de la relativité générale d'Einstein, notamment la dérivation de son équation à partir de l'action d'Einstein-Hilbert.
Le théorème des bases Les premiers travaux d'Hilbert sur les fonctions invariantes l'amènent à démontrer en 1888 son théorème de la base finie. Vingt ans plus tôt, à l'aide d'une méthode de calculs complexe, Paul Gordan démontre le théorème sur la finitude des générateurs des formes binaires. Les tentatives de généraliser sa méthode aux fonctions à plusieurs variables échouent à cause de la complexité des calculs. Hilbert décide d'emprunter une autre voie. Il démontre ainsi le théorème de la base finie, qui affirme l'existence d'un ensemble fini de générateurs pour les invariants des formes algébriques pour n'importe quel nombre de variables. Il ne construit pas effectivement une telle base ni n'indique de moyen d'en construire. Il prouve l'existence formellement en montrant que rejeter cette existence conduit à une contradiction.
Hilbert envoie ses résultats au Mathematische Annalen. Gordan, l'expert maison sur la théorie des invariants, ne parviendra pas à apprécier la nature révolutionnaire des travaux de Hilbert. Il rejette l'article, affirmant qu'il est incompréhensible : « C'est de la théologie, pas des mathématiques ! »