Le programme d'Erlangen, publié par le mathématicien allemand Felix Klein en 1872 dans son Étude comparée de différentes recherches récentes en géométrie, est un programme de recherche mathématique. L'objectif est de comparer les différentes géométries apparues au cours du pour en dégager les points de similitude : on peut ainsi plus clairement distinguer la géométrie affine, la géométrie projective, la géométrie euclidienne, la géométrie non euclidienne au travers d'une vision globale. La clef de voûte de ce programme est de fonder la géométrie sur les notions d'action de groupe et d'invariant. Ce programme apparut comme une remise en question de la géométrie et influa très fortement sur son développement et son évolution. Encore aujourd'hui sa philosophie influence de nombreux mathématiciens, ainsi que des programmes d'enseignement et de recherche..
La lecture de cet article nécessite une certaine familiarité avec les concepts et le vocabulaire des actions de groupes.
Contexte historique et principes
Depuis l'écriture des Éléments d'Euclide (et même avant), la géométrie cherchait à rendre compte de l'espace environnant, à travers la formalisation et l'axiomatisation de la géométrie euclidienne en dimensions 2 ou 3. Le a connu un épanouissement des mathématiques et en particulier de la géométrie. En réponse à la question de l'indépendance des axiomes d'Euclide, et aussi pour des raisons pratiques, de nouvelles géométries furent introduites, à l'instar de la géométrie hyperbolique ou de la géométrie projective. À l'époque, on voyait ces géométries non pas comme une palette d'outils mais plutôt comme des modèles fondamentaux répondant à une collection d'axiomes desquels les résultats géométriques devaient se déduire. Cette vision de la géométrie, dite géométrie synthétique, se place dans une volonté de rigueur mathématique.
En prenant possession de sa chaire à l'université d'Erlangen, Klein, alors âgé de vingt-trois ans, devait selon la tradition proposer un programme de travail. Le sien est une remise en question de cette vision traditionnelle. Son idée est d'appuyer la géométrie sur la théorie des groupes, et de placer le concept de symétrie (ou transformation) au centre de la géométrie.
La notion de groupe avait été introduite par Évariste Galois en 1831 pour étudier le problème de la résolubilité des équations polynomiales. C'est cette même notion que Klein emploie pour comprendre la géométrie, mais dans un tout autre contexte. Dans le programme d'Erlangen, une géométrie est décrite comme l'action d'un groupe G sur un ensemble X. Il s'agit moins d'une définition que d'une recherche d'esthétique. Dans ce contexte, on définit un objet géométrique par le lieu des points de X invariants par un sous-groupe isotropique de G. On peut aussi s'intéresser à une classe d'objets laissée invariante par l'action induite de G, qui forme alors un nouvel espace sur lequel opère G, et on cherche alors à classifier ces objets pour l'opération du groupe G. On peut aussi prendre un sous-groupe de G et comparer les deux géométries obtenues.
Voici des exemples qui permettent d'illustrer ces principes tout en restant dans le cadre de la géométrie plane. On considère un plan euclidien X et trois groupes : le groupe affine de X, le groupe des isométries de X et le groupe des similitudes affines de X. Ces groupes opèrent transitivement sur X et définissent trois géométries.
Dans un premier exemple, on s'intéresse aux couples de points distincts de X (ou aux segments de X). Le groupe affine et le groupe des similitudes opèrent transitivement sur l'ensemble de ces couples, et il n'y a alors pas lieu de les classifier pour ces groupes. Pour le groupe des isométries, ce qui permet de les classifier c'est la distance mutuelle des points du couple. Dans un deuxième exemple, on s'intéresse aux triangles de X. Le groupe affine opère transitivement sur l'ensemble des triangles, et il n'y a alors pas lieu de les classifier. Pour le groupe des similitudes affines, ce qui permet de classifier les triangles, ce sont les angles des triangles (cas de similitudes des triangles). Pour le groupe des isométries, ce qui permet de classifier les triangles, ce sont les longueurs des côtés (cas d'égalité des triangles). Le groupe affine de X opère transitivement sur l'ensemble des couples de droites sécantes. Pour le groupe des isométries (ou des similitudes affines), on peut opérer une classification à l'aide de l'angle de droites (c'est un nombre réel).
On peut aussi considérer les couples de droites parallèles de X, et alors le groupe affine et le groupe des similitudes affines opèrent transitivement sur cet ensemble et la distance entre les droites sert à les classifier pour le groupe des isométries. Du point de vue de la géométrie projective, si on prend le complété projectif P de X (c'est un plan projectif), alors les droites de X deviennent des droites de P, et alors les deux types de couples de droites de X se confondent dans X pour le groupe projectif de P, et ce groupe opère transitivement sur les couples de droites distinctes de P (deux droites de P sont nécessairement sécantes et il n'y donc pas de droites parallèles distinctes dans P).
Les coniques propres de X se répartissent en trois orbites pour le groupe affine : les ellipses (cercles compris), les hyperboles et les paraboles. Pour le groupe des similitudes affines de X, ces coniques propres de X forment une classe d'objets invariants, classifiées par leur excentricité. Pour le groupe des isométries de X, l'« équation normalisée » permet la classification.
Du point de vue de la géométrie projective, si on prend le complété projectif P de X (c'est un plan projectif), alors le groupe projectif de P opère transitivement sur les coniques propres de P, alors que les traces sur X de ces coniques de P sont exactement les coniques propres de X : ainsi, en ajoutant une droite à l'infini de X, on ne peut plus distinguer les coniques de X.
En pratique, les groupes qui interviennent dans les géométries du sont les groupes classiques, c'est-à-dire des sous-groupes des groupes linéaires , et de sous-groupes des groupes affines et des groupes projectifs qui leur sont associés. Ces groupes sont encore très utilisés en géométrie.
Le second mérite du programme d'Erlangen est de clarifier les particularités de chaque type de géométrie. Par exemple, la géométrie projective rend bien compte de l'alignement des sections coniques, mais non des cercles, des angles et des distances, car ces notions ne sont pas invariantes par les transformations projectives (il suffit de les imaginer en perspective pour le comprendre). Dans l'optique de ce programme, comprendre la liaison entre les différents types de géométrie revient alors à considérer des sous-groupes d'un groupe de symétries.
Selon Bourbaki, la géométrie classique serait morte en tant que champ de recherche puisque, avec la clarté obtenue en classifiant les résultats des géométries d'un espace à l'aide des groupes dont il relève, et surtout depuis les progrès de la théorie des invariants, on peut obtenir de manière presque automatique et systématique les résultats de la géométrie classique. Il reste toutefois à trouver dans quel langage ces résultats seront les plus simples et élégants : « Dépassée en tant que science autonome et vivante, la géométrie classique s'est ainsi transfigurée en un langage universel de la mathématique contemporaine, d'une souplesse et d'une commodité incomparablesN. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, 1959, chap. 9, Notes historiques. »
Les différentes géométries à la lumière du programme d'Erlangen
Ce tableau donne la correspondance entre les principales géométries introduites au et les actions de groupes :
Géométrie Espace Groupe Invariants Affine Espace affine groupe des isomorphismes affines de Sous-espaces affines Euclidienne Espace euclidien groupe des isométries affines de Sous-espaces affines, sphères Sphérique Sphère euclidienne : groupe orthogonal Grands cercles Projective Espaces projectifs réels : groupe projectif Sous-espace projectif Elliptique Espace projectif réel : groupe projectif orthogonal Sous-espaces projectifs
Une des idées fondamentales de Klein consiste à plonger les différentes géométries dans la géométrie projective : on fixe une figure d'un espace projectif et on dérive de cette figure, ou d'une figure qui lui est associée, le groupe des transformations projectives qui la laisse stable. On cherche alors des invariants et des quantités qui permettent de les classifier sous l'action du groupe. On obtient de cette façon les principales géométries classiques : la géométrie affine, la géométrie euclidienne, la géométrie sphérique la géométrie elliptique, la géométrie hyperbolique et la géométrie conforme. Puisque la géométrie projective peut être basée sur l'algèbre linéaire, toutes ces géométries admettent des modèles basés sur l'algèbre linéaire. De plus, l'algèbre linéaire est un outil théorique puissant pour l'étude de ces géométries.
On interprète ici les principales géométries comme sous-géométries de la géométrie projective (ou affine).
La géométrie affine peut être obtenue à l'aide de la géométrie projective de la manière suivante : on prend un espace projectif P induit par un espace vectoriel réel E de dimension finie ( par exemple) et on fixe un hyperplan L de P ( par exemple) et on prend le stabilisateur G de L pour le groupe projectif de P (qui induit par le groupe linéaire de E). Ensuite, le complémentaire de L dans P s'identifie à un espace affine réel de dimension n ( dans l'exemple) et le groupe de transformations induites sur cet espace affine est son groupe affine (le groupe affine de dans l'exemple). En fait, on a fait l'opération inverse de la complétion projective d'un espace affine, qui consiste à plonger un espace affine dans un espace projectif et de plonger son groupe affine dans le groupe projectif. Ainsi, la géométrie affine est une sous-géométrie de la géométrie projective. Tout ceci fonctionne si on remplace le corps des nombres réels par le corps des nombres complexes (ou par un corps commutatif). On peut interpréter la géométrie euclidienne avec son groupe des similitudes en termes de géométrie projective (c'est plus abstrait). Il y a sur ce que l'on appelle une « quadrique imaginaire » : la norme au carrée de définit un polynôme homogène réel de degré 2 de et, en remplaçant les coordonnées réelles par des coordonnées complexes, on obtient un polynôme homogène complexe de degré 2 de (même équation, mais en variables complexes). Les points de l'espace projectif complexe qui annulent ce polynôme est une quadrique projective de (une conique projective si n > 2 et deux points si n = 2). C'est la quadrique imaginaire de . On a vu dans l'exemple précédent de la géométrie affine, que le groupe affine de s'identifie à un sous-groupe du groupe projectif de . Le groupe des similitudes affines de est le sous-groupe du groupe projectif (ou du groupe affine) des transformations qui laissent stable la quadrique imaginaire (on remplace les coordonnées réelles par des coordonnées complexes, et tout ici a un sens). Ainsi la géométrie euclidienne semblable est une sous-géométrie de la géométrie projective. On peut donner une autre interprétation de la géométrie elliptique. Pour cela, on reprend la quadrique imaginaire de de l'exemple précédent (on augmente la dimension de 1). Alors le groupe projectif orthogonal de est le sous-groupe du groupe projectif de qui laisse stable la quadrique imaginaire. On dit que cette quadrique imaginaire est l'absolu de l'espace elliptique . On peut ainsi dire que l'hyperplan à l'infini d'un espace euclidien est un espace elliptique. La distance d'un espace elliptique peut s'exprimer à l'aide de la quadrique imaginaire et des birapports.