En calcul stochastique, l'intégrale de Stratonovich (aussi intégrale de Fisk-Stratonovich) est un type d'intégrale stochastique. Contrairement à l'intégrale d'Itô, où seul le point final gauche de l'intervalle de décomposition est nécessaire pour la construction
dans l'intégrale de Stratonovich, on utilise la moyenne arithmétique des extrémités gauche et droite
L'avantage de l'intégrale de Stratonovich sur l'intégrale d'Itô est que la formule d'Itô n'a que des différentiels du premier ordre.
L'intégrale de Fisk-Stratonovich porte le nom de Ruslan Stratonovich et Donald Fisk.
Intégrale de Stratonovich pour les semi-martingales Soit et des semi-martingales et . Lintégrale de Stratonovich de Y par rapport à X est définie comme
Ici, désigne l’intégrale d’Itō et la partie continue de la covariation quadratique optionnelle. En outre, désigne les sauts du processus. .
Pour les semi-martingales continues Si et sont des semi-martingales continues, alors
ou sous forme différentielle
Remarques La définition de l'intégrale de Stratonovich peut être généralisée, de sorte que Y n'est plus une semi-martingale, mais simplement adaptée et càdlàg.
Dérivation L'intégrale de Stratonovich est obtenue en prenant la moyenne arithmétique des extrémités gauche et droite de l'intervalle de décomposition. Soit une subdivision de et soit des semi-martingales continues. S'applique alors
Relation entre l'intégrale de Itô et de Stratonovich On a la relation suivante :
Si X et Y sont des semi-martingales continues
Formule d'Itô Soit une -semi-martingale et , alors . Pour les semimartingales continue Soit une -semi-martingale continue et , alors
Généralisations Une généralisation pour les semi-martingales avec sauts est l'intégrale de Marcus, qui est obtenue en réécrivant le terme de saut.
Bibliographie
Notes et références
Catégorie:Calcul stochastique