Le type et le cotype d'un espace de Banach sont une classification des espaces de Banach et une mesure de la distance entre un espace de Banach et être un espace de Hilbert.
Le point de départ est l'identité pythagoricienne d'un espace de Hilbert. Dans un espace de Hilbert, les vecteurs orthogonaux ont l'identité
Ce n'est plus le cas dans les espaces généraux de Banach. L'orthogonalité est formulée dans la définition à l'aide de variables aléatoires de Rademacher, c'est pourquoi on parle aussi de type de Rademacher et de cotype de Rademacher.
Définition Soit un espace de Banach et un espace probabilisé. Soit de plus une suite de variables aléatoires de Rademacher indépendantes, c’est-à-dire que l’on a
ainsi que et , et une orthogonalité deux à deux pour : .
En général, l’espace ne dispose pas d’une structure d’orthogonalité, c’est pourquoi on considère l’orthogonalité des variables de Rademacher dans l’espace afin de comparer la géométrie de à celle des espaces de Hilbert. On obtient ainsi une structure probabiliste de remplacement pour l’orthogonalité.
Type est de type avec si une constante finie existe tel que
pour toute suite finie . On écrit pour la meilleure constante .
Cotype est de cotype avec si une constante finie existe tel que
respectivement
pour toute suite finie . On écrit pour la meilleure constante .
Propriétés Un espace de Banach est de type et de cotype si et seulement s'il est isomorphe à un espace de Hilbert, alors l'identité pythagoricienne est vraie. Un espace de Banach de type est aussi de type . Un espace de Banach de cotype est aussi de cotype . Tout espace de Banach est de type (découlant de l'inégalité triangulaire). L'équation peut également être écrite sous forme abrégée en utilisant la norme de Bochner-Lebesgue. L'espace dual d'un espace de Banach de type (avec ) est de cotype , où est le nombre conjugué de : est. De plus, s'applique.
Exemples Les espaces pour sont de type et cotype , c'est-à-dire est de type , est de type etc. Les espaces pour sont de type et cotype . est de type et cotype .
Bibliographie
Notes et références
Catégorie:Analyse fonctionnelle Catégorie:Espace de Banach