En mathématiques, le nombre appelé en anglais reciprocal Fibonacci constant, ou constante de Fibonacci inverse, et noté généralement ψ, est par définition la somme des inverses des nombres de Fibonacci non nuls :
Le quotient de deux termes successifs de cette série tend vers l'inverse du nombre d'or. Cette limite étant strictement inférieure à 1, la règle de d'Alembert montre que la série converge.
Le début du développement décimal de ψ est
().
Une méthode d'accélération due à Gosper permet de calculer une valeur approchée efficacement. La série des inverses des nombres de Fibonacci fournit naturellement O(k) chiffres exacts pour k termes de la série, alors qu'après accélération de la convergence, la suite de Gosper fournit O(k2) chiffres..
On sait que ψ est irrationnel ; cette propriété a été conjecturée par Paul Erdős, Ronald Graham et Leonard Carlitz, et démontrée en 1989 par Richard André-Jeannin., qui s'est inspiré de la démonstration par Roger Apéry de l'irrationalité de .
Le début du développement de ψ en fraction continue simple est :
().
Articles connexes Table de constantes mathématiques Liste de sommes d'inverses d'entiers Liste de pages en rapport avec la suite de Fibonacci
Références
Liens externes
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