En géométrie, une intersection est un point, une ligne ou une courbe commune à deux objets ou plus (tels que des droites, des courbes, des plans et des surfaces). Le cas le plus simple en géométrie euclidienne est l'intersection de deux droites distinctes, qui est soit un point, soit inexistante (si les lignes sont parallèles). Les autres types d'intersection géométrique comprennent :
Courbe d'intersection
La détermination de l'intersection d'hyperplans – des objets géométriques linéaires dans un espace de dimension supérieure – est une tâche simple d'algèbre linéaire, qui revient à déterminer la solution d'un système d'équations linéaires. En général, la détermination d'une intersection conduit à des équations non linéaires, qui peuvent être résolues numériquement, par exemple en utilisant la méthode de Newton. Les problèmes d'intersection d'une droite et d'une conique (cercle, ellipse, parabole, etc.) ou d'une quadrique (sphère, cylindre, hyperboloïde, etc.) conduisent à des équations du second degré simples à résoudre. Les intersections de quadriques conduisent à des équations quartiques qui peuvent être résolues algébriquement.
Dans un plan
Deux droites vignette|200x200px| Le point rouge représente le point d'intersection des deux droites. Pour la détermination du point d'intersection de deux lignes non parallèles
on obtient, à partir de la règle de Cramer ou en substituant une variable, les coordonnées du point d'intersection :
(Si alors les lignes sont parallèles, donc l'intersection n'existe pas, et ces formules ne peuvent pas être utilisées car elles impliquent une division par 0).
Deux segments de droite vignette|300x300px| Intersection de deux segments de droite Pour deux segments de ligne non parallèles et il n'y a pas nécessairement de point d'intersection (voir schéma), car le point d'intersection des droites correspondantes n'est pas forcément contenu dans les segments de droite. Afin de vérifier la situation, on utilise des représentations paramétriques des droites :
Les segments de droite ne se croisent qu'en un point commun des lignes correspondantes si les paramètres correspondants remplissent la condition . Les paramètres sont la solution du système linéaire
Il peut être résolu pour s et t en utilisant la règle de Cramer (voir supra). Si la condition est remplie on insère ou dans la représentation paramétrique correspondante et on obtient le point d'intersection .
Exemple : Pour les segments de droite d'extrémités et , on obtient le système linéaire
et . Ainsi, les droites se coupent au point .
Remarque : En considérant des droites, au lieu de segments, déterminés par des paires de points, chaque condition peut être supprimée et la méthode donne le point d'intersection des droites. vignette| Intersection droite-cercle
Une droite et un cercle Pour l'intersection de la droite d'équation et le cercle , on résout l'équation de droite pour ou et on la substitue dans l'équation du cercle et on obtient la solution (en utilisant la formule d'une équation du second degré) avec
si
On a alors trois cas : si cette condition est vérifiée avec une inégalité stricte, il y a deux points d'intersection ; dans ce cas, la droite est appelée une droite sécante du cercle et le segment de droite reliant les points d'intersection est appelé une corde du cercle. si on est dans le cas d'égalité , il n'existe qu'un seul point d'intersection et la droite est tangente au cercle si l'inégalité n'est pas vérifié, la droite ne coupe pas le cercle. Si le centre du cercle n'est pas à l'origine, on peut s'y ramenerErich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 17.
L'intersection d'une droite et d'une parabole ou d'une hyperbole peut être traitée de manière analogue.
Deux cercles La détermination des points d'intersection de deux cercles
se ramène au cas précédent de l'intersection d'une droite et d'un cercle. Par différence des deux équations données on obtient l'équation de droite :
Cette droite spéciale est l'axe radical des deux cercles. vignette| Intersection de deux cercles dont les centres sont sur l'axe des abscisses, leur axe radical en rouge foncé Cas particulier : Dans ce cas, l'origine est le centre du premier cercle et le deuxième centre se trouve sur l'axe des abscisses (voir schéma). L'équation de la droite radicale se simplifie en et les points d'intersection peuvent s'écrire avec
Dans le cas où les cercles n'ont aucun point commun.
Si les cercles ont un point commun et l'axe radical est la tangente commune.
Tout cas général tel qu'écrit ci-dessus peut être ramené par une translation et une rotation au cas particulier.
L'intersection de deux disques (l'intérieur des deux cercles) forme une forme appelée lentille. vignette| intersection cercle-ellipse
Deux sections coniques Le problème de l'intersection d'une ellipse/hyperbole/parabole avec une autre section conique conduit à un système d'équations quadratiques, qui peut être résolu facilement dans des cas particuliers par élimination d'une coordonnée. Les propriétés spéciales des sections coniques peuvent être utilisées pour obtenir une solution. En général, les points d'intersection peuvent être déterminés en résolvant l'équation par une méthode de Newton. Si a) les deux coniques sont données implicitement (par une équation) une méthode de Newton bidimensionnelle b) l'une implicitement et l'autre paramétriquement donnée une méthode de Newton unidimensionnelle est nécessaire, comme détaillé par la suite.
Deux courbes lisses vignette|250x250px| Une intersection transversale de deux courbes vignette|350x350px|Intersection touchante traversante (à gauche), non traversante (à droite) Deux courbes dans (espace à deux dimensions), qui sont continûment différentiables (c'est-à-dire qu'il n'y a pas de courbure prononcée), ont un point d'intersection, s'ils ont un point du plan en commun et ont en ce point deux tangentes différentes ( intersection transversale ), ou une tangente en commun qui se croisent ( intersection touchante, voir schéma).
Si les deux courbes ont un point et la droite tangente en commun mais ne se croisent pas, elles se touchent juste au point .
Étant donné que les intersections touchantes apparaissent rarement et sont difficiles à gérer, les considérations suivantes omettent ce cas. Dans tous les cas ci-dessous, toutes les conditions nécessaires sur les dérivées sont présupposées. La détermination des points d'intersection conduit toujours à une ou deux équations non linéaires qui peuvent être résolues par itération de Newton. Une liste des cas apparaissant suit : vignette| intersection d'une courbe paramétrique et d'une courbe implicite vignette| intersection de deux courbes implicites
si les deux courbes sont explicitement données : , leur mise en équation donne l'équation
si les deux courbes sont données par leurs équations paramétriques : Leur mise en équation donne deux équations à deux variables :
si une courbe est déterminée paramétriquement et l'autre implicitement donnée : C'est le cas le plus simple en dehors du cas explicite. Il faut substituer la représentation paramétrique de dans l'équation de courbe et on obtient l'équation :
si les deux courbes sont implicitement données :
Ici, un point d'intersection est une solution du système
Toute itération de Newton nécessite des valeurs de départ pratiques, qui peuvent être estimées par une visualisation des deux courbes. Une courbe paramétrique ou explicite peut être facilement visualisée, car à tout paramètre ou respectivement il est facile de calculer le point correspondant. Pour les courbes implicites, cette tâche n'est pas aussi facile. Dans ce cas, il faut déterminer un point de courbe à l'aide de valeurs de départ et d'une itération Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 33
Exemples:
une courbe paramétrique et un cercle (voir schéma). La méthode de Newton pour la fonction doit être fait. Comme valeurs de départ, on peut choisir −1 et 1,5. Les points d'intersection sont : (−1,1073 ; −1,3578), (1,6011 ; 4,1046)
(voir schéma). La méthode de Newton doit être effectuée, où est la solution du système linéaire au point . Comme valeurs de départ on peut choisir (−0,5 ;1) et (1 ; −0,5). Le système linéaire peut être résolu par la règle de Cramer. Les points d'intersection sont (−0,3686 ; 0,9953) et (0,9953 ; −0,3686).
Deux polygones vignette|300x300px| intersection de deux polygones : test de la fenêtre Si l'on veut déterminer les points d'intersection de deux polygones, on peut vérifier l'intersection de n'importe quelle paire de segments de droite des polygones (voir le cas de deux droites concourantes). Pour les polygones avec de nombreux segments, cette méthode est plutôt chronophage. En pratique on accélère l'algorithme d'intersection en utilisant des tests de fenêtre . Dans ce cas, on divise les polygones en petits sous-polygones et on détermine la plus petite fenêtre (rectangle avec des côtés parallèles aux axes de coordonnées) pour tout sous-polygone. Avant de commencer la détermination fastidieuse du point d'intersection de deux segments de ligne, toute paire de fenêtres est testée pour les points communsErich Hartmann: CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Lecture notes, TU Darmstadt, 1997, p. 79 (PDF; 3,4 MB).
En trois dimensions Dans l'espace tridimensionnel, il existe des points d'intersection (points communs) d'une courbe et d'une surface. Dans les sections suivantes, seule l'intersection transversale est considérée.
Une droite et un plan vignette| Intersection droite-plan L'intersection d'une droite et d'un plan en position générale en trois dimensions est un point.
Généralement, une droite dans l'espace a une représentation paramétrique de la forme et un plan par une équation . L'insertion de la représentation des paramètres dans l'équation donne l'équation linéaire
pour paramètre du point d'intersection .
Si l'équation linéaire n'a pas de solution, la droite se trouve sur le plan ou lui est parallèle.
Trois plans Si une droite est définie par deux plans sécants et doit être intersectée par un troisième plan , le point d'intersection commun des trois plans doit être évalué.
Trois avions avec des vecteurs normaux indépendants linéaires ont pour point d'intersection
Pour le prouver, il faut établir en utilisant les règles du produit mixte. Si celui-ci est nul, alors on est dans un cas dégénéré et il n'y a pas d'intersection, ou c'est une droite (ou un plan, si les trois plans sont identiques).
Une courbe et une surface vignette|265x265px| intersection de la courbe avec la surface De manière analogue au cas plan, les cas suivants conduisent à des systèmes non linéaires, qui peuvent être résolus à l'aide d'une itération de Newton à 1 ou 3 dimensionsErich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 93.
courbe paramétrique et surface paramétrique
courbe paramétrique et surface implicite
Exemple la courbe paramétrique et la surface implicite (voir image) ; les points d'intersection sont : (−0,8587 ; 0,7374 ; −0,6332), (0,8587 ; 0,7374 ; 0,6332).
Une intersection droite-sphère est un cas particulier simple.
Comme dans le cas d'une droite et d'un plan, l'intersection d'une courbe et d'une surface en position générale est constituée de points discrets, mais une courbe peut être partiellement ou totalement contenue dans une surface.
Une droite et un polyèdre
Deux surfaces Deux surfaces sécantes transversalement donnent une courbe d'intersection. Le cas le plus simple est la droite d'intersection de deux plans non parallèles.
Voir aussi
Géométrie analytique#Intersections Géométrie algorithmique Équation de droite