En mathématiques, un invariant cohomologique d'un groupe algébrique sur un corps est un invariant des formes de à valeurs dans un groupe de cohomologie galoisienne.

Définition Soit un groupe algébrique défini sur un corps . On choisit un corps séparablement clos contenant . Pour une extension finie de dans soit le groupe de Galois absolu de . Le premier groupe de cohomologie est un ensemble qui classe les -torseurs sur ; il est fonctoriel en .

Un invariant cohomologique de de dimension à valeurs dans un -module est une transformation naturelle des foncteurs (par rapport à ) de vers .

Autrement dit, un invariant cohomologique associe de façon naturelle un élément d'un groupe de cohomologie abélienne à un élément d'un ensemble de cohomologie non abélienne.

Plus généralement, si est un foncteur quelconque des extensions finies d'un corps vers les ensembles, alors un invariant cohomologique de de dimension à valeurs dans un -module est une transformation naturelle de foncteurs (de ) de vers .

Étant donné un groupe ou un foncteur , une dimension et un module galoisien , les invariants cohomologiques forment un groupe abélien noté ou .

Exemples

Soit le foncteur qui envoie un corps vers l'ensemble des classes d'isomorphisme d'algèbres de dimension qui sont étales sur ce corps. Les invariants cohomologiques à coefficients dans ℤ/2ℤ forment un module libre sur la cohomologie de ayant pour base des éléments de degrés 0, 1, 2,..., où est la partie entière de /2. L' d'une forme quadratique est essentiellement un invariant cohomologique de dimension 2 du groupe spinoriel correspondant, à valeurs dans un groupe d'ordre 2. Si est un quotient d'un groupe par un sous-groupe central fini lisse , alors l'application de bord de la suite exacte correspondante donne un invariant cohomologique de dimension 2 à valeurs dans . Si est un groupe spécial orthogonal et si le recouvrement est le groupe spinoriel alors l'invariant correspondant est essentiellement l'invariant de Hasse-Witt. Si est le groupe orthogonal d'une forme quadratique en caractéristique différente de 2, on dispose de classes de Stiefel-Whitney pour chaque dimension positive, qui sont des invariants cohomologiques à valeurs dans ℤ/2ℤ. (Ce ne sont pas les classes topologiques de Stiefel-Whitney d'un fibré vectoriel réel mais ce sont leurs analogues pour les fibrés vectoriels sur un schéma.) En dimension 1 c'est essentiellement le discriminant et en dimension 2 c'est essentiellement l'invariant de Hasse-Witt. L' est un invariant de dimension 3 de certaines formes quadratiques paires ayant un discriminant trivial et un invariant de Hasse-Witt trivial. Il est à valeurs dans ℤ/2ℤ. Il peut être utilisé pour construire un invariant cohomologique de dimension 3 du groupe spinoriel correspondant comme suit. Si est dans et est la forme quadratique correspondant à l'image de dans , alors est la valeur de l'invariant cohomologique de dimension 3 sur . L'invariant de Merkurjev-Suslin est un invariant de dimension 3 d'un groupe linéaire particulier d'une algèbre centrale simple de rang , à valeurs dans le carré tensoriel du groupe des racines -ièmes de l'unité. Lorsque = 2, il s'agit essentiellement de l'invariant d'Arason. Pour des groupes simplement connexes absolument simples , l' est un invariant de dimension 3 à valeurs dans ℚ/ℤ(2) qui généralise en quelque sorte l'invariant d'Arason et l'invariant de Merkurjev-Suslin à des groupes plus généraux.

Références

Catégorie:Groupe algébrique Catégorie:Homologie