Introduction aux mathématiques de la relativité générale

Les mathématiques de la relativité générale sont complexes. Dans la théorie du mouvement de Newton, la longueur d'un objet et la vitesse à laquelle le temps s'écoule restent constantes même lorsque l'objet accélère. Cela signifie que de nombreux problèmes de mécanique newtonienne peuvent être résolus uniquement en utilisant l'algèbre. Mais en relativité, la longueur d'un objet et la vitesse à laquelle le temps s'écoule changent sensiblement à mesure que la vitesse de l'objet se rapproche de la vitesse de la lumière. Pour cette raison, il est nécessaire d'introduire davantage de variables et des lois mathématiques plus compliquées pour calculer le mouvement de l'objet. En conséquence, la relativité nécessite l'utilisation de concepts tels que les vecteurs, les tenseurs, les et les coordonnées curvilignes.

Vecteurs et tenseurs Vecteurs droite|vignette| Illustration d'un vecteur typique En mathématiques, en physique et en ingénierie, un vecteur est un objet géométrique qui a à la fois une longueur (ou norme) et une direction. Un vecteur est ce qui permet de « transporter » un point vers un point ; le mot latin « vector » signifie « celui qui porte ». On le note , ou simplement . La longueur du vecteur est la distance entre les deux points, et la direction fait référence à la direction du déplacement de vers . De nombreuses opérations algébriques que l'on a l'habitude d'utiliser avec les nombres réels, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la négation, ont des analogues pour les vecteurs. Ces opérations obéissent aux lois algébriques familières de la commutativité, de l'associativité et de la distributivité.

Tenseurs droite|vignette|300x300px| La contrainte est un tenseur de deuxième ordre qui représente la réponse d'un matériau à une force appliquée suivant une certaine direction. Les deux directions du tenseur représentent la force « normale » (perpendiculaire à la surface) et la force « de cisaillement » (parallèle à la surface). Un tenseur est une extension du concept de vecteur à des directions supplémentaires. Un scalaire, c'est-à-dire un nombre simple sans direction, est représenté sur un graphique par un point, qui est un objet de dimension zéro. Un vecteur, qui a une longueur et une direction, apparaît sur un graphique sous la forme d'une ligne, qui est un objet de dimension un. Un vecteur est un tenseur du premier ordre, car il possède une direction. Un tenseur du deuxième ordre a deux longueurs et deux directions. Il apparaît sur un graphique sous la forme de deux lignes semblables aux aiguilles d'une horloge. L'« ordre » d'un tenseur est le nombre de directions qui le composent. L'ordre ne doit pas être confondu avec le nombre de dimensions utilisées pour représenter les directions. Par exemple, un vecteur d'un plan est un tenseur du premier ordre dont la direction est de dimension deux (celle du plan). Un vecteur de l'espace physique est lui aussi un tenseur du premier ordre, mais sa direction est de dimension trois (celle de l'espace). Un tenseur du deuxième ordre en deux dimensions peut être représenté mathématiquement par une matrice 2 x 2, et en trois dimensions par une matrice 3 x 3, mais dans les deux cas, la matrice d'un tenseur du deuxième ordre est « carrée » (elle a le même nombre de lignes que de colonnes). Un tenseur du troisième ordre a trois longueurs et trois directions. Il se représente par un cube de nombres, 2 x 2 x 2 en dimension 2 et 3 x 3 x 3 en dimension 3. Il n'y a pas de limite théorique à l'ordre d'un tenseur, mais la représentation d'un tenseur d'ordre supérieur à trois doit faire preuve d'imagination. On parle alors d'un hypercube : 4-cube, ... , n-cube, ... , etc.

Applications Les vecteurs sont fondamentaux dans les sciences physiques. Ils peuvent être utilisés pour représenter n'importe quelle quantité qui a à la fois une grandeur et une direction. Un exemple est la représentation de la vitesse d'un objet par un vecteur vitesse (on parle parfois de vélocité). La grandeur est la vitesse de l'objet et la direction indique le sens du mouvement. Par exemple, une vitesse de 5 mètres par seconde vers le haut pourrait être représentée par le vecteur (en dimension 3 avec l'axe positif comme indiquant la direction verticale vers le haut). Une autre grandeur représentée par un vecteur est la force; elle a également une grandeur (une intensité) et une direction. Les vecteurs décrivent également de nombreuses autres quantités physiques, telles que les déplacements, les accélérations, la quantité de mouvement et le moment cinétique. Certaines autres grandeurs physiques, tels que le champ électrique et le champ magnétique, sont représentés comme un système de vecteurs en chaque point de l'espace physique. On parle alors d'un champ de vecteurs.

Les tenseurs ont, eux aussi, de nombreuses applications en physique : en électromagnétisme, on utilise le tenseur électromagnétique (ou tenseur de Faraday) ; en mécanique des milieux continus, on utilise le tenseur des déformations pour décrire les déformations d'un matériau ou d'un fluide sous l'effet de contraintes ; la permittivité diélectrique et la susceptibilité électrique sont des tenseurs dans les milieux anisotropes ; en relativité générale, on utilise le tenseur énergie-impulsion pour représenter les flux de quantité de mouvement ; les opérateurs tensoriels sphériques sont les fonctions propres de l'opérateur de moment cinétique quantique en coordonnées sphériques ; les tenseurs de diffusion, à la base de l'imagerie par résonance magnétique de diffusion, représentent les taux de diffusion dans les environnements biologiques.

Dimensions En relativité générale, des vecteurs de dimension 4, des quadrivecteurs, sont nécessaires. Les quatre dimensions sont la longueur, la hauteur, la largeur et le temps. Un « point » dans ce contexte s'appelle un événement, car il représente à la fois un lieu et un instant. De la même façon que les quadrivecteurs, les tenseurs en relativité nécessitent quatre dimensions. Un exemple est le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel (ou plus simplement tenseur de Riemann).

Système de coordonnées

En physique, ainsi qu'en mathématiques, un vecteur est souvent identifié par ces composantes, une liste de nombres (un uplet) qui dépendent d'un système de coordonnées (un référentiel), qui permet de repérer les positions et les mouvements dans l'espace. Dans l'espace de dimension 3, le système de coordonnées cartésiennes est couramment utilisé. Il est formé de trois vecteurs de base , représentant trois directions fixes de l'espace. Un vecteur quelconque est repéré à l'aide de trois composantes , qui représentent le nombre de fois que chacun des trois vecteurs de base sont ajoutés pour produire le même « transport » que le vecteur . Dans de nombreuses applications, il est intéressant d'utiliser un système de coordonnées orthogonal, dans lequel les trois vecteurs de base sont deux à deux orthogonaux.

Transformation de coordonnées Si le système de coordonnées est transformé, par exemple par rotation autour d'une ou plusieurs des trois directions ou par allongement d'un ou plusieurs des vecteurs de base, les composantes d'un vecteur exprimé dans ce système de coordonnées se transforment également. Le vecteur lui-même ne change pas, mais le référentiel ayant changé, les composantes du vecteur doivent changer pour compenser. Par exemple, un vecteur de deux centimètres dans la direction de l'axe des aura pour composantes si l'objet servant de référence fait un centimètre de long, mais il aura pour composantes si l'objet servant de référence ne fait qu'un millimètre de long.

Un vecteur est dit covariant ou contravariant suivant la façon dont la transformation des coordonnées affecte la transformation des composantes du vecteur : les vecteurs contravariants ont des unités de distance (telles qu'un déplacement) ou de distance multipliée (ou divisée) par une autre unité (telle que la vitesse ou l'accélération). Ils se transforment de manière opposée au système de coordonnées. Par exemple, en changeant les unités de mètres en millimètres, les unités définissant les coordonnées deviennent plus petites, mais les composantes du vecteur deviennent plus grandes : devient ; les vecteurs covariants ont des unités qui sont l'inverse d'une distance multipliée (ou divisée) par une autre unité (comme dans le cas du gradient). Ils se transforment de la même manière que le système de coordonnées. Par exemple, en passant du mètre au millimètre, les unités des coordonnées deviennent plus petites et les composantes du vecteur deviennent également plus petites : devient .

Dans la notation d'Einstein, les composantes des vecteurs contravariants et les composantes contravariantes des tenseurs sont représentées par des indices hauts, par exemple . Les composantes des vecteurs covariants et les composantes covariantes des tenseurs sont représentées par des indices bas, par exemple . Les indices peuvent être « élevés » ou « abaissés » par multiplication par une matrice appropriée, souvent la matrice identité.

Les transformations de coordonnées sont importantes parce que la relativité stipule qu'il n'existe aucun point de référence dans l'univers qui puisse être plus favorisé qu'un autre. Sur terre, nous utilisons des dimensions comme la latitude, la longitude et l'altitude, qui sont utilisées sur toute la planète par rapport à un point de référence (l'intersection de l'équateur, du méridien de Greenwich et du niveau de la mer). Un tel système n'existe pas dans l'espace. Sans un point de référence clairement défini, il devient plus précis de décrire les quatre dimensions comme devant/derrière, gauche/droite, haut/bas et passé/futur. Comme exemple d'événement, supposons que la Terre soit un objet immobile et considérons la signature de la Déclaration des droits de l'homme et du citoyen. Pour un observateur moderne sur le mont Blanc et regardant vers l'est, l'événement est derrière, à gauche, en bas et dans le passé. Cependant, pour un observateur de l'Angleterre médiévale regardant vers l'est, l'événement est devant, à droite, ni en haut ni en bas, et dans le futur. L'événement lui-même n'a pas changé : c'est la position de l'observateur qui a changé.

Axes non orthogonaux Un système de coordonnées non orthogonal est un système dans lequel les directions ne sont pas nécessairement orthogonales les unes par rapport aux autres, c'est-à-dire qu'elles se rencontrent à des angles autres que des angles droits de 90 degrés. Lors de l'utilisation de transformations de coordonnées telles que décrites ci-dessus, le système de coordonnées transformé semblera souvent avoir des axes non orthogonaux par rapport au système initial.

Pseudo-tenseurs Un pseudo-tenseur est une quantité semblable à un tenseur, qui se comporte comme un tenseur en ce qui concerne l'augmentation et la diminution des indices, mais qui ne se transforme pas comme un tenseur lors d'une transformation de coordonnées. Par exemple, les symboles de Christoffel ne peuvent pas être considérés comme formant un tenseur lorsque les coordonnées ne se transforment pas de façon linéaire.

En relativité générale, on ne peut pas décrire l'énergie et la quantité de mouvement du champ gravitationnel par un tenseur. Au lieu de cela, on introduit des objets qui se comportent comme des tenseurs uniquement en ce qui concerne certaines transformations de coordonnées. À proprement parler, de tels objets ne sont pas des tenseurs. Un exemple célèbre est le pseudo-tenseur de Landau-Lifshitz.

Coordonnées curvilignes et espace-temps courbe