Joseph-Louis Lagrange (en italien Giuseppe Luigi Lagrangia ou Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier ou Luigi De La Grange , ou encore Luigi Lagrange ), né à Turin le de parents français et mort à Paris le , est un mathématicien, mécanicien et astronome italien, originaire du royaume de Sardaigne et naturalisé français.
À l'âge de trente ans, il quitte Turin et va séjourner à Berlin pendant vingt-et-un ans. Ensuite, il s'installe pour ses vingt-six dernières années à Paris où il prend la nationalité française en 1802.
Biographie Turin Monsieur Lagrangia, le père du mathématicien, épouse Maria Teresa Gros, fille d'un médecin turinois, qui donne naissance le au premier de ses onze enfants, baptisé Giuseppe Luigi. Son père, en dépit de son rangC'est dans l'ancien duché de Savoie que s'installe, au , un capitaine de cavalerie tourangeau, l'arrière-grand-père de Lagrangia. Il épouse une noble romaine de la lignée des Conti, parente du pape Innocent XIII. Un de ses fils, le grand-père du mathématicien, épouse la comtesse Berniolo et devient trésorier de la « Maison d'œuvres publiques et de fortifications » de la ville de Turin, charge dont héritent deux de ses fils, dont le père du mathématicien (), dispose de peu de moyens, ruiné avant la majorité de son premier enfantLe jeune Giuseppe Luigi ne devient indépendant que lors de son départ pour Berlin alors qu'il a trente ans passés. Lui-même disait que sa vocation mathématique était due, en partie, à la pauvreté de sa famille, car autrement il serait devenu un bon bourgeois, vivant de ses rentes (). par certaines spéculations hasardeuses.
Giuseppe Luigi Lagrangia est un élève brillant du collège de Turin. Ses grandes passions sont les lettres classiques et le latin. Le physicien Giovanni Battista Beccaria lui apprend la physique et Filippo Antonio Revelli se charge de la géométrie. Ce sont eux qui l'initient à l'étude des sciences. L'étude des Éléments d'Euclide constitue son initiation aux mathématiques, mais il succombe bientôt aux charmes de la nouvelle science du calcul infinitésimal. Quand il a dix-sept ans, il semble que ce soit un bref article sur les applications de l'algèbre à l'optique, dû à l'astronome mathématicien anglais Edmond Halley (-), ami de Newton, qui l'initie aux joies de ce qu'on appelle alors « l'analyse », par opposition à « la synthèse », comme on nomme alors la méthode géométrique d'Euclide.
À dix-huit ans, Giuseppe Luigi, élève brillantissime, a déjà lu et assimilé Newton, d'Alembert , les Bernoulli et Euler, le tout en autodidacte. En moins d'un an, ses recherches commencent à porter leurs fruits : il est devenu un mathématicien de talent.
Le , à peine âgé de dix-huit ans, le jeune Lagrangia envoie un bref mémoire au géomètre Giulio Fagnano (1682-1776). Son idée ambitieuse est de formaliser le calcul infinitésimal en utilisant le théorème binomial de Newton et son analogie, avec les dérivées successives du produit de deux fonctions.
En même temps, il envoie une lettre en latin exposant ses travaux à Euler, la première d'une longue et fructueuse correspondance avec le grand savant. Mais en août de la même année, Lagrangia, qui signe à présent « Luigi De la Grange Tournier » s'aperçoit que son résultat a déjà été démontré par Leibniz et Jean Bernoulli , mais il se remet au travailSon premier travail pouvait être pris pour un plagiat ou une tricherie (). et, quelques mois plus tard, communique à Fagnano et Euler les nouveaux résultats qu'il a obtenus pour une courbe connue sous le nom de tautochrone et jette les bases du calcul variationnel. Euler est tellement enthousiasmé par cette nouvelle méthode, qu'il félicite son jeune collègue pour son travail et proclame que, selon lui, les idées de Lagrange représentent un sommet de perfection, de généralité et d'utilité. Le plus frappant dans la réponse d'Euler à Lagrange, c'est qu'à partir de ce moment, il traite le jeune homme comme étant intellectuellement son égal.
Quelques semaines après la réponse d'Euler, datée de , et alors que Lagrange n'a que dix-neuf ans, le duc de Savoie le nomme professeur de l'Académie royale pour la théorie et la pratique de l'artillerie de TurinLa plupart de ses étudiants sont plus âgés que lui. Sa mission est d'enseigner les mathématiques du mouvement nécessaires pour comprendre les idées sur la balistique de Benjamin Robins (1707-1751), savant et ingénieur britannique, ainsi que d'Euler lui-même ()..
Euler caresse l'idée de faire venir Lagrange à Berlin, mais Lagrange décline l'invitation en . Euler va jusqu'à le nommer, sans lui demander son avis, membre étranger de l'institution. En , Lagrange prend avec Giuseppe Angelo Saluzzo di Menusiglio et Giovanni Francesco Cigna l'initiative de créer la Società Scientifica Privata Torinese, société savante qui deviendra plus tard l’Académie des sciences de Turin. Presque tous les travaux publiés par Lagrange à Turin paraissent dans les mémoires de l'Académie, connus sous le nom de Miscellanea TaurinensiaTrois mémoires. Le premier () Recherches sur la méthode de maximis et minimis concerne le calcul des variations analytique. Un autre, Sur l'intégration d'une équation différentielle à différences finies concerne la théorie des suites récurrentes. Le troisième et dernier est un traité exhaustif sur la nature et la propagation du son ()., tantôt en latin, tantôt en français, compilant ses premiers résultats sur l’application du calcul variationnel à des problèmes de mécanique (propagation du son, corde vibrante).
Ayant assis sa réputation et son prestige par ses publications et ses correspondances avec les plus grands mathématiciens du temps, Lagrange se fixe comme objectif la conquête de Paris. Il se propose de résoudre les problèmes, relatifs à la Lune, posés par l'Académie parisienne en Problèmes : 1°) comment expliquer que la Lune présente toujours une même face à la Terre ? 2°) la Lune exhibe-t-elle des mouvements de précession et de nutation, comme la Terre ? À la première question, Lagrange démontre que la raison est gravitationnelle, à la seconde question, il répond « oui », démontré par trois équations différentielles ().. En , ses travaux sont récompensés par le Grand Prix de l’Académie des sciences de Paris. Cette même année, l'Académie de Paris propose un nouveau prix, demandant cette fois si les irrégularités des quatre satellites connus de Jupiter sont dues à leur attraction mutuelleLagrange soumet au mois d' un mémoire intitulé Recherches sur les inégalités des satellites de Jupiter causées par leur attraction mutuelle().. Une nouvelle fois, il remporte le prix de l'Académie.
Revenant de France au printemps , Lagrange rend visite à Voltaire en exil à Ferney et dira de lui : . De retour dans sa ville natale, il peut vérifier que la cour ne fait rien pour améliorer sa situation matérielle, en dépit de promesses aussi obséquieuses que répétées. À l'âge de trente ans, il habite toujours chez ses parents, sans perspective de changement.
À l'automne , d'Alembert l'incite à accepter un poste à Berlin, il décline l'invitation . En , Euler accepte l'invitation de Catherine II de Russie à venir renforcer le prestige de la nouvelle Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, et Frédéric II lui-même lui fait une proposition intéressante, avec les mots suivants : . Il lui propose d'occuper le poste de directeur de la section de mathématiques de l'Académie royale des sciences de Prusse laissé vacant par Euler. Le roi de Sardaigne lui fait part de son déplaisir, mais Lagrange quitte pour toujours son pays natal le et prend le chemin d'une nouvelle vie.
Berlin Si les dix premières années de Lagrange à Berlin sont particulièrement fécondes, les années suivantes sont marquées par des drames personnels. En , Lagrange épouse une de ses cousines, Vittoria Conti, qu'il connaît depuis l'enfance. Dans une lettre à d'Alembert, il la décrit comme une femme industrieuse et , dans la même lettre il déclare qu'il n'a pas l'intention d'avoir des enfants. En raison d'ennuis de santé, en , il se retire des concours biennaux de l'Académie de Paris.
Lagrange écrit dans une lettre à d'Alembert : , le prévenant qu'il n'aurait peut-être pas le temps d'effectuer tous les calculs. Les travaux sont présentés à l'Académie de Paris et d'Alembert peut lui annoncer, le , qu'il a remporté le prix () ex aequo avec Euler. Lagrange poursuit ses recherches sur les problèmes de mécanique céleste posés par l'Académie de Paris mais, en , il annonce qu'il ne participerait plus aux prix. Condorcet, incité par d'Alembert, insiste pour qu'il continue. Il remporte à nouveau le prix avec un mémoire sur « l'accélération séculaire » de la Lune. La dernière participation de Lagrange à un prix de l'Académie est un traité sur les perturbations exercées par l'ensemble des corps célestes sur les trajectoires des comètes. Il remporte ainsi pour la dernière fois le prix () de .
Pendant ce temps, Lagrange poursuit ses recherches sur la mécanique céleste et publie nombre de travaux, pour la plupart dans les Mémoires de l'Académie de Berlin, comme son contrat l'y oblige. Nombre de ces mémoires traitent de problèmes de stabilité et de perturbations, comme la question du mouvement séculaire des nœuds d'une orbite, celle de la diminution de l'obliquité d'une écliptique, celle des variations de l'excentricité et des périhélies. L'ensemble culmine en un traité général de plusieurs volumes parus en 1785 et 1786 sous le titre Théorie des variations séculaires des éléments des planètes et Théorie des variations périodiques des mouvements des planètes.
La majorité de ses contemporains cherchent à résoudre des problèmes pratiques, alors que pour Lagrange, il s'agit de faire de la physique mathématique, c'est-à-dire de développer des techniques mathématiques applicables à la physique. Si un problème ne l'attire pas d'un point de vue mathématique, il le considère sans intérêt et refuse d'y travailler. Pendant les dix premières années passées à Berlin, il établit d'importants résultats en théorie des nombres et en algèbre. En , il entreprend des recherches sur la théorie des équations qui lui permettront d'aboutir à l'un de ses résultats les plus intéressants, cette fois dans le domaine de l'algèbre, qui fera de lui le devancier des idées que développeront au siècle suivant le Norvégien Niels Henrik Abel (-) et Évariste Galois (-).
C'est à Lagrange qu'il revient d'avoir réussi à démontrer le théorème de Wilson, d'avoir trouvé la solution d'un problèmeÉquation appelée aujourd'hui « équation de Pell ». Conformément à ses habitudes, Fermat avait conclu qu'elle possédait une infinité de solutions, mais n'en avait pas apporté la démonstration (). posé par Fermat , d'avoir prouvé que tout entier naturel peut s'écrire sous la forme de la somme des carrés de quatre entiers naturels (zéro inclus). En , il fait la preuve de son inventivité en inaugurant l'étude de ce que l'on appelle aujourd'hui les formes quadratiques et démontre que toute forme quadratique est convertible en une forme réduite. Il travaille aussi activement sur les équations aux dérivées partielles qui apparaissent dans le contexte de problèmes en mécanique des fluides et, en particulier, dans les problèmes de propagation du son. Il aura publié plus de au cours de son séjour à Berlin.
À partir de , les nuages s'amoncellent, Lagrange souffre périodiquement de problèmes de santé qui s'aggravent à partir de . Son épouse tombe malade et le reste durant plusieurs années, au point qu'en il va interrompre ses recherches pour pouvoir lui consacrer tout son temps. Il se voue corps et âme aux soins de son épouse, mais rien n'y fait et, en , Vittoria meurt.