En mathématiques, notamment en algèbre générale, un demi-groupe involutif ou un *-demi-groupe est un demi-groupe doté d'un anti-automorphisme involutif.
Cette involution, considérée comme un opérateur unaire, rapproche en quelque sorte la structure de demi-groupe de celle d'un groupe, car la fonction qui à un élément d'un groupe associe son inverse est un anti-automorphisme involutif. Pour autant, tous les anti-automorphismes involutifs ne sont pas nécessairement des opérateurs d'inversion : il existe de nombreux exemples de demi-groupes involutifs qui ne sont pas des groupes.
Les demi-groupes involutifs apparaissent pour la première fois dans un article en russe de Viktor Wagner de 1953, dans une tentative de relier la théorie des demi-groupes avec celle des demi-tas.
Définition
Premier exemple et intuition Un exemple important de demi-groupe involutif est le demi-groupe librement généré par un alphabet muni de l'inversion de l'ordre des lettres d'un mot. Intuitivement, il s'agit de l'ensemble des mots sur un alphabet, muni de la concaténation (la mise bout à bout de deux mots) et de l'opération unaire qui consiste à prendre un mot et le lire à l'envers. Formellement, pour un mot avec des lettres de l'alphabet , on pose
Par exemple, on a . On remarque alors que
Inverser une deuxième fois l'ordre des lettres permet de revenir à l'ordre de lettre initial, c'est-à-dire Inverser l'ordre des lettres de la concaténation de deux mots revient à inverser l'ordre des lettres du deuxième mot, puis à le concaténer au premier, lui aussi inversé, c'est-à-dire , avec et deux mots.
À propos de cette dernière propriété, appelée propriété d'antimorphisme, HSM Coxeter fait remarquer qu'il « devient clair lorsque nous pensons à et comme les opérations consistant à enfiler nos chaussettes et nos chaussures, respectivement »H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, p. 33, avec l'idée que si signifie « enfiler sa chaussette » et signifie « enfiler sa chaussure », alors pour enlever à la fois la chaussette et chaussures , il faut commencer par enlever la chaussure, puis la chaussette .
Définition formelle Soit un demi-groupe dont l'opération binaire est écrite de manière multiplicative. Une involution sur est un anti-automorphisme de période 2, c'est-à-dire
Période 2 : pour tout dans , . Antimorphisme : pour tout , dans , .
Le demi-groupe muni de l'involution est appelé un demi-groupe involutif, ou encore *-demi-groupe.
Les semi-groupes qui ne satisfont que le premier de ces axiomes appartiennent à la classe plus large des U-demi-groupes.
Exemples
En algèbre linéaire, le monoïde multiplicatif des matrices carrées muni de la transposition est un monoïde involutif. En effet, on a bien et . Cependant, pour une matrice arbitraire, n'est pas égale à la matrice identité : c'est donc un exemple de monoïde involutif mais non inversif. Si est un demi-groupe commutatif alors l'identité sur S est une involution. Si est un groupe alors l'inversion * : définie par est une involution. De plus, sur un groupe abélien, cette application et celle de l'exemple précédent sont des involutions au sens des demi-groupes. Si est un demi-groupe inversif alors l'inverse au sens des demi-groupes est une involution qui laisse les idempotents invariants. De même que dans l'exemple précédent, un demi-groupe inversif peut avoir d'autres involutions, et même d'autres involution qui laissent les idempotents invariants, comme par exemple l'identité sur un demi-groupe commutatif régulier, donc inversif. Un demi-groupe régulier est un demi-groupe inversif si et seulement s'il admet une involution pour laquelle chaque idempotent est un invariant Munn, Lemma 1. Chaque C*-algèbre contient un *-demi-groupe. Un exemple important est l'algèbre des matrices carrées de taille sur , avec la transposition conjuguée comme involution. Le monoïde des relations binaires sur ensemble est un *-demi-groupe, où R* est la relation inverse de R. C'est un exemple de *-demi-groupe qui n'est pas régulier. Le monoïde libre sur un alphabet est un *-demi-groupe, avec * l'inversion de l'ordre des lettres d'un mot. L'ensemble , muni du produit est une bande rectangulaire. On peut la munir de l'involution pour obtenir un demi-groupe involutif. Ce demi-groupe est également un demi-groupe régulier, comme toutes les bandes Nordahl and Scheiblich.
Concepts et propriétés de base
Élément hermitien Un élément d'un demi-groupe involutif est dit hermitien (par analogie avec une matrice hermitienne) lorsqu'il est laissé invariant par l'involution, c'est-à-dire . Les éléments de la forme ou sont toujours hermitiens, de même que toutes les puissances d'un élément hermitien. Un demi-groupe est inversif si et seulement si est régulier et admet une involution pour laquelle tout idempotent est hermitienEasdown, David, and W. D. Munn. "On semigroups with involution." Bulletin of the Australian Mathematical Society 48.01 (1993): 93–100..
Isométries partielles et projections Certains concepts de base peuvent être définis sur les *-demi-groupes en analogie aux éléments réguliers. Une isométrie partielle est un élément tel que . L'ensemble des isométries partielles d'un demi-groupe est noté Lawson, p. 116. Une projection est un élément à la fois idempotent et hermitien, c'est-à-dire et . Toute projection est une isométrie partielle. De plus, si est une isométrie partielle alors et sont des projections. Si et sont des projections, alors si et seulement si Lawson, p. 117.
Les isométries partielles peuvent être partiellement ordonnées en posant si et seulement si et , ou, de manière équivalente, si et seulement si et avec une projection. Dans un *-demi-groupe, est un groupoïde ordonné dont le produit partiel est donné par si Lawson, p. 118.
Exemples Dans le *-demi-groupe des relations binaires sur un ensemble, les isométries partielles sont les relations difonctionnelles. Les projections dans ce *-demi-groupe sont les relations d'équivalence partielleLawson p.122 and p.35.
Les isométries partielles dans une C*-algèbre sont exactement les isométries partielles au sens des demi-groupes involutifs. Dans le cas de , si et sont des projections, alors si et seulement si . Pour deux projections quelconques, si , alors la projection unique d'image et de noyau le complément orthogonal de est l'intersection de et . Puisque les projections forment un demi-treillis, les isométries partielles sur forment un demi-groupe inversif dont le produit est donné par Lawson p.120.
Régularité Il existe deux notions de régularité liées, mais distinctes, pour les *-semigroupes. Elles ont été introduites presque simultanément par Nordahl et Scheiblich en 1978 et par Drazin en 1979Crvenkovic and Dolinka.
Demi-groupes involutifs réguliers au sens de Nordahl et Scheiblich Comme mentionné dans les exemples précédents, les demi-groupes inversifs sont une sous-classe des *-demi-groupe. Un résultat standard de la théories des demi-groupes affirme qu'un demi-groupe est inversif si et seulement s'il est régulier et ses idempotents commutent. En 1963, Boris M. Schein a montré que les deux axiomes suivants fournissent une caractérisation analogue des demi-groupes inversifs comme une sous-variété de *-semi-groupes :
La premier axiome ressemble à la définition d’un élément régulier et le second la commutation de deux idempotents. On sait cependant que les demi-groupes réguliers ne forment pas une variété car leur classe ne contient pas d'objets libres (un résultat établi par DB McAlister en 1968). Ce raisonnement a motivé Nordahl et Scheiblich en 1977 à étudies les variétés de *-demi-groupes qui satisfont uniquement le premier de ces deux axiomes. En raison de la similitude avec les axiomes des semi-groupes réguliers, ils ont nommé cette variété les *-demi-groupes.
Tout *-demi-groupe régulier est également un demi-groupe régulier car s'avère être un inverse de . La bande rectangulaire de l'exemple 7 est un *-demi-groupe régulier non inversif. Il est également facile de vérifier que dans un *-demi-groupe régulier, le produit de deux projections est toujours idempotentNordahl and Scheiblich, Theorem 2.5. Ainsi; dans l'exemple de bande rectangulaire, les projections sont des éléments de la forme et, comme tous les éléments d'une bande, sont idempotentes. En revanche, dans cette bande, deux projections différentes ne commutent pas toujours, et leur produit n'est pas nécessairement une projection puisque .
Les demi-groupes satisfaisant uniquement (mais pas nécessairement l'antidistributivité de * sur la multiplication) ont également été étudiés sous le nom de I-demi-groupes.
P-systèmes Le problème consistant à déterminer si semigroupe régulier est aussi un *-semigroupe régulier (au sens de Nordahl et Scheiblich) a été abordé par M. Yamada en 1982. Il définit un P-système comme un sous-ensemble d'idempotents de S. En utilisant la notation usuelle pour les inverses de , doit satisfaire les axiomes suivants :
Pour tout dans , il existe un unique dans tel que et appartiennent à Pour tout dans et dans , appartient à , avec l'opération définie par l'axiome précédent Pour tous , dans , est idempotent
Un demi-groupe régulier est un demi-groupe *-régulier au sens de Nordahl et Scheiblich si et seulement s'il possède un P-système . Dans ce cas, est l'ensemble des projections de pour l'involution ° définie par . Dans un demi-groupe inversif, le demi-treillis des idempotents est un p-système. De plus, si un demi-groupe régulier a un p-système fermé par multiplication (autrement dit, c'est un sous-demi-groupe), alors est un demi-groupe inversif. Ainsi, un P-système peut être vu comme une généralisation du demi-teillis des idempotents d'un demi-groupe inversif.
Demi-groupes *-réguliers au sens de Drazin Un *-demi-groupe est appelé un demi-groupe *-régulier (au sens de Drazin) lorsque pour tout dans , est -équivalent à un inverse de , où est la relation de Green . Cette propriété peut être formulée de plusieurs manières équivalentes. Une autre consiste à dire que chaque classe contient une projection. Une définition axiomatique est donnée par la condition suivante : pour tout dans , il existe un élément tel que , , , . Michael P. Drazin est le premier à avoir prouvé qu'étant donné , l'élément satisfaisant ces axiomes est unique. L'élément est alors appelé l'inverse de Moore-Penrose de . Cela est conforme à la définition classique de l'inverse de Moore-Penrose d'une matrice carrée.
Une des motivations pour étudier ces demi-groupes est qu'ils permettent de généraliser les propriétés de l'inverse de Moore-Penrose en remplaçant ou par des ensembles plus généraux.
Dans le demi-groupe , l'application qui à une matrice associe son conjugué hermitien est une involution. Le demi-groupe est un demi-groupe *-régulier pour cette involution. L'inverse de Moore – Penrose de A est alors l'inverse de Moore – Penrose usuel de .
Demi-groupe involutif libre Comme pour toutes les variétés, la catégorie des demi-groupes involutifs admet des objets libres. La construction d'un demi-groupe (ou monoïde) involutif libre est basée sur celle d'un demi-groupe libre (et respectivement celle d'un monoïde libre). On peut facilement déduire la construction d’un groupe libre à partir de celle d'un monoïde involutif libreLawson p. 51.
Les générateurs d'un demi-groupe involutif libre sont les éléments de l'union de deux ensembles disjoints en correspondance bijective : . Dans le cas où les deux ensembles sont finis, leur union est parfois appelée alphabet à involution ou encore alphabet symétrique. Soit une bijection. se prolonge naturellement en une bijection en prenant l'union disjointe de avec son inverse :
Soit alors comme le demi-groupe librement engendré par :
avec
La bijection sur est alors prolongée comme une bijection définie comme l'inversion de l'ordre des lettres dans les mots de :