Le théorème du bagel au pavot (poppy-seed bagel theorem) est un énoncé de physique mathématique décrivant les conditions pour que des particules se repoussant les unes les autres et confinées à une surface ou dans un volume s'y répartissent de manière uniforme. vignette|Bagel au pavot Le théorème s'applique lorsque la force de répulsion entre les particules est inversement proportionnelle à la distance entre celles-ci élevée à la puissance s, où s est un nombre positif. C'est donc par exemple le cas d'un ensemble d'électrons soumis à la loi de Coulomb, ou de particules soumises à des potentiels de Riesz ou d'autres interactions décrites en théorie du potentiel.
Pour N particules, il existe un état d'équilibre stable dépendant de la valeur de s, qui minimise l'énergie potentielle associée au système. Dans le cas d'un grand nombre de particules, une telle configuration crée une discrétisation du sous-ensemble dans lequel sont contraintes les particules.
Le théorème du bagel précise les conditions pour lesquelles cette discrétisation est uniforme. Pour catégorie assez large de sous-ensembles, l'uniformité est vérifiée lorsque le paramètre est supérieur ou égal à la dimension du sous ensemble.
Par exemple, lorsque les points (les grains de pavot) sont confinés à la surface à 2 dimensions d'un tore (la surface d'un bagel), plongé dans un espace à 3 dimensions, si les points se repoussent avec une force proportionnelle à l'inverse du carré de leur distance (s = 2), les points se répartiront uniformément sur la surface du tore s'ils sont en nombre suffisant, puisque le tore est une surface de dimension deux. Toute force répulsive plus puissante (s > 2) aura la même propriété.
Définitions Soit un paramètre s > 0 et un ensemble de N points dans un espace de dimension p. On définit la s-énergie des points comme suit:Pour tout sous-ensemble compact de l'espace, on définit son énergie minimale à N points par.où le minimum est pris sur tous les sous-ensembles de N points de A ; c'est-à-dire, . Une répartition de N points sur la surface A minimisant Es est appelée configuration de s-équilibre à N points
Théorème du bagel pour les parties mesurables
Supposons que l'ensemble soit compact et Lebesgue-mesurable de mesure et que . Pour tout , étant donnée une configuration d'équilibre à N points , on définit la mesure μNoù est une masse ponctuelle en . Sous ces hypothèses,
c'est-à-dire que la mesure μN converge (au sens de la convergence faible des mesures) vers la mesure μ, où μ est la mesure de Lebesgue restreinte à A ; soit, .
De plus, on aoù est une constante indépendante de l'ensemble et donc,où est le cube unité de .
Théorème du bagel pour les variétés
Soit A une variété différentielle de dimension d plongée dans et σ une mesure géométrique sur cette variété. On suppose de plus que et . Pour chaque étant donnée une configuration minimale , on pose de mêmeAlors, on ala mesure μN converge (au sens de la convergence faible des mesures) vers la mesure μ, où μ est la mesure géométrique normalisée . Si est la mesure de Hausdorff de dimension d normalisée de sorte que , alorsoù est le volume d'une d-boule.
La constante Cs,p Pour , on sait que , où est la fonction zêta de Riemann. En utilisant une approche basée sur une forme modulaire pour la programmation linéaire, Viazovska et ses coauteurs ont établi dans un article de 2022 qu'en dimensions et , les valeurs de , , sont donnés par la fonction zêta d’Epstein associées respectivement au réseau E8 et au réseau de Leech. On suppose que pour , la valeur de est déterminée de la même manière comme la valeur de la fonction zêta d'Epstein pour le treilis hexagonal. Enfin, pour toutes dimensions on sait que lorsque , la convergence de devient plutôt que , et la valeur de peut être calculée explicitement puisqu’elle est égale au volume de la p-boule : Il existe une relation entre la constante et le problème de l'empilement compact de sphères : où est le volume de la p-boule et où la borne supérieure est prise sur toutes les familles de boules unitaires qui ne se chevauchent pas de telle sorte que la limiteexiste.
Voir aussi
Dimension de Hausdorff Théorie géométrique de la mesure Empilement de sphères Fonction zêta de Riemann
Références
Catégorie:Dimension Catégorie:Potentiel Catégorie:Théorème de physique