En géométrie, un solide de Johnson est un polyèdre strictement convexe dont chaque face est un polygone régulier et qui n'est pas isogonal (qui n'est donc ni un solide de Platon, ni un solide d'Archimède, ni un prisme ni un antiprisme). Il n'est pas nécessaire que chaque face soit un polygone identique, ou que les mêmes polygones se rejoignent autour de chaque sommet. Un exemple de solide de Johnson est la pyramide à base carrée avec des côtés triangulaires équilatéraux (J1) ; il possède une face carrée et quatre faces triangulaires.
Comme dans un solide strictement convexe au moins trois faces se rencontrent à chaque sommet, le total de leurs angles est moindre que 360 degrés. Puisqu'un polygone régulier possède des angles supérieurs à 60 degrés, on en déduit que cinq faces au plus se rencontrent à un sommet quelconque. La pyramide pentagonale (J2) est un exemple qui a un sommet de degré 5.
Bien qu'il n'existe pas de restriction évidente qu'un polygone régulier quelconque donné puisse être une face d'un solide de Johnson, il s'avère que les faces des solides de Johnson ont toujours 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 côtés.
En 1966, Norman Johnson a publié une liste qui incluait les 92 solides, et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne démontra pas qu'il n'en existait que 92, mais il conjectura qu'il n'y en avait pas d'autres. a démontré en 1969 que la liste de Johnson était complète. On utilise les noms et l'ordre donnés par Johnson, et on les note Jxx.
Des solides de Johnson, la gyrobicoupole octogonale allongée (J37) est le seul qui est de sommet uniforme : il existe quatre faces à chaque sommet, et leur arrangement est toujours le même : trois carrés et un triangle.
Noms Les noms sont listés ci-dessous et sont plus descriptifs que ce que l'on entend. Beaucoup de ces solides peuvent être construits par ajout de pyramides, de coupoles et de rotondes sur des faces de solide de Platon, solide d'Archimède, de prismes ou d'antiprismes.
Le préfixe Bi- signifie que deux copies du solide en question sont jointes base sur base. Pour les coupoles et les rotondes, elles peuvent être jointes telles que les faces se rencontrent (ortho-) ou non (gyro-). Dans cette nomenclature, un octaèdre serait nommé une bipyramide carrée, un cuboctaèdre serait nommé une gyrobicoupole hexagonale et un icosidodécaèdre une gyrobirotonde décagonale.
Allongé signifie qu'un prisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un rhombicuboctaèdre serait nommé une orthobicoupole octogonale allongée. Gyroallongé signifie qu'un antiprisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un icosaèdre serait nommé une bipyramide pentagonale gyroallongée.
Augmenté signifie qu'une pyramide ou une coupole a été jointe à une face du solide en question. Diminué signifie qu'une pyramide ou une coupole a été enlevée du solide en question.
Gyré signifie qu'une coupole sur le solide en question a subi une rotation telle que les différentes arêtes coïncident, comme pour la différence entre ortho et gyro bicoupoles.
Les trois dernières opérations — augmentation, diminution et gyration — peuvent être exécutées plus d'une fois sur un solide suffisamment grand. Nous ajoutons bi- au nom de l'opération pour indiquer que cela a été exécuté deux fois. (Un solide bigyré a deux de ses coupoles ayant subi une rotation). Nous ajoutons tri- pour indiquer que cela a été exécuté trois fois. (Un solide tridimininué a trois de ses pyramides ou coupoles enlevées).
Quelquefois, bi- tout seul n'est pas assez précis. Nous devons distinguer entre un solide qui a deux faces parallèles altérées et un qui a deux faces obliques altérées. Lorsque deux faces altérées sont parallèles, nous ajoutons para- au nom de l'opération. (Un solide parabiaugmenté possède deux faces parallèles augmentées). Lorsqu'elles ne le sont pas, nous ajoutons méta- au nom de l'opération. (Un solide métabiaugmenté possède deux faces obliques augmentées).
Liste et noms de Johnson
S : nombre de sommets, A : nombre d'arêtes, F : nombre total de faces, dont : F3 triangles, F4 carrés, F5 pentagones, F6 hexagones, F8 octogones, F10 décagones.
Prismatoïdes et rotondes
pyramides coupoles rotondes
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie 1 pyramide carrée pyramide 5 8 5 4 1 0 0 0 0 C4v 2 pyramide pentagonale pyramide 6 10 6 5 0 1 0 0 0 C5v 3 coupole hexagonale coupole 9 15 8 4 3 0 1 0 0 C3v 4 coupole octogonale coupole 12 20 10 4 5 0 0 1 0 C4v 5 coupole décagonale coupole 15 25 12 5 5 1 0 0 1 C5v 6 rotonde décagonale rotonde 20 35 17 10 0 6 0 0 1 C5v
Pyramides modifiées et dipyramides
bipyramide dipyramide allongée dipyramide gyroallongée
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie 7 pyramide triangulaire allongée 7 12 7 4 3 0 0 0 0 C3v 8 pyramide carrée allongée pyramide allongée 9 16 9 4 5 0 0 0 0 C4v 9 pyramide pentagonale allongée pyramide allongée 11 20 11 5 5 1 0 0 0 C5v 10 pyramide carrée gyroallongée 9 20 13 12 1 0 0 0 0 C4v 11 pyramide pentagonale gyroallongée pyramide gyroallongée 11 25 16 15 0 1 0 0 0 C5v 12 diamant triangulaire Bipyramide (ou diamant) 5 9 6 6 0 0 0 0 0 D3h 13 diamant pentagonal Bipyramide (ou diamant) 7 15 10 10 0 0 0 0 0 D5h 14 diamant triangulaire allongé Bipyramide allongée (ou diamant allongé) 8 15 9 6 3 0 0 0 0 D3h 15 diamant carré allongé Bipyramide allongée (ou diamant allongé) 10 20 12 8 4 0 0 0 0 D4h 16 diamant pentagonal allongé Bipyramide allongée (ou diamant allongé) 12 25 15 10 5 0 0 0 0 D5h 17 diamant carré gyroallongé Bipyramide allongée (ou diamant allongé) 10 24 16 16 0 0 0 0 0 D4d
Coupoles et rotondes modifiées coupole allongée rotonde allongée birotonde allongée coupole-rotonde allongée bicoupole allongée coupole gyroallongée rotonde gyroallongée bicoupole birotonde coupole-rotonde bicoupole gyroallongée birotonde gyroallongée coupole-rotonde gyroallongée
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie Chiral 18 coupole hexagonale allongée coupole allongée 15 27 14 4 9 0 1 0 0 C3v 19 coupole octogonale allongée coupole allongée 20 36 18 4 13 0 0 1 0 C4v 20 coupole décagonale allongée coupole allongée 25 45 22 5 15 1 0 0 1 C5v 21 rotonde décagonale allongée rotonde allongée 30 55 27 10 10 6 0 0 1 C5v 22 coupole hexagonale gyroallongée coupole gyroallongée 15 33 20 16 3 0 1 0 0 C3v 23 coupole octogonale gyroallongée coupole gyroallongée 20 44 26 20 5 0 0 1 0 C4v 24 coupole décagonale gyroallongée coupole gyroallongée 25 55 32 25 5 1 0 0 1 C5v 25 rotonde décagonale gyroallongée rotonde gyroallongée 30 65 37 30 0 6 0 0 1 C5v 26 gyrobiprisme triangulaire bicoupole 8 14 8 4 4 0 0 0 0 D2d 27 orthobicoupole hexagonale bicoupole 12 24 14 8 6 0 0 0 0 D3h 28 orthobicoupole octogonale bicoupole 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4h 29 gyrobicoupole octogonale bicoupole 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4d 30 orthobicoupole décagonale bicoupole 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5h 31 gyrobicoupole décagonale bicoupole 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5d 32 orthocoupole-rotonde décagonale coupole-rotonde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v 33 gyrocoupole-rotonde décagonale coupole-rotonde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v 34 orthobirotonde décagonale birotonde 30 60 32 20 0 12 0 0 0 C5v 35 orthobicoupole hexagonale allongée bicoupole allongée 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3h 36 gyrobicoupole hexagonale allongée bicoupole allongée 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3d 37 gyrobicoupole octogonale allongée bicoupole allongée 24 48 26 8 18 0 0 0 0 D4h 38 orthobicoupole décagonale allongée bicoupole allongée 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5h 39 gyrobicoupole décagonale allongée bicoupole allongée 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5v 40 orthocoupole-rotonde décagonale allongée coupole-rotonde allongée 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v 41 gyrocoupole-rotonde décagonale allongée coupole-rotonde allongée 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v 42 orthobirotonde décagonale allongée birotonde allongée 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5h 43 gyrobirotonde décagonale allongée birotonde allongée 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5v 44 bicoupole hexagonale gyroallongée bicoupole gyroallongée 18 42 26 20 6 0 0 0 0 D3v 45 bicoupole octogonale gyroallongée bicoupole gyroallongée 24 56 34 24 10 0 0 0 0 D4v 46 bicoupole décagonale gyroallongée bicoupole gyroallongée 30 70 42 30 10 2 0 0 0 D5v 47 coupole-rotonde décagonale gyroallongée coupole-rotonde gyroallongée 35 80 47 35 5 7 0 0 0 C5v 48 birotonde décagonale gyroallongée birotonde gyroallongée 40 90 52 40 0 12 0 0 0 C5v
Prismes augmentés Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie 49 prisme triangulaire augmenté prisme augmenté 7 13 8 6 2 0 0 0 0 C 50 prisme triangulaire biaugmenté prisme augmenté 8 17 11 10 1 0 0 0 0 C 51 prisme triangulaire triaugmenté prisme augmenté 9 21 14 14 0 0 0 0 0 D 52 prisme pentagonal augmenté prisme augmenté 11 19 10 4 4 2 0 0 0 C 53 prisme pentagonal biaugmenté prisme augmenté 12 23 13 8 3 2 0 0 0 C 54 prisme hexagonal augmenté prisme augmenté 13 22 11 4 5 0 2 0 0 C 55 prisme hexagonal parabiaugmenté prisme augmenté 14 26 14 8 4 0 2 0 0 D 56 prisme hexagonal métabiaugmenté prisme augmenté 14 26 14 8 4 0 2 0 0 C 57 prisme hexagonal triaugmenté prisme augmenté 15 30 17 12 3 0 2 0 0 D
Solides de Platon modifiés Dodécaèdres augmentés Icosaèdres diminués
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie 58 dodécaèdre augmenté dodécaèdre augmenté 21 35 16 5 0 11 0 0 0 C 59 dodécaèdre parabiaugmenté dodécaèdre augmenté 22 40 20 10 0 10 0 0 0 D 60 dodécaèdre métabiaugmenté dodécaèdre augmenté 22 40 20 10 0 10 0 0 0 C 61 dodécaèdre triaugmenté dodécaèdre augmenté 23 45 24 15 0 9 0 0 0 C 62 icosaèdre métabidiminué icosaèdre diminué 10 20 12 10 0 2 0 0 0 C 63 icosaèdre tridiminué icosaèdre diminué 9 15 8 5 0 3 0 0 0 C 64 icosaèdre tridiminué augmenté icosaèdre diminué 10 18 10 7 0 3 0 0 0 C
Solides d'Archimède modifiés Tétraèdre tronqué augmenté Cube tronqué augmenté Dodécaèdre tronqué augmenté Petit rhombicosidodécaèdre gyré Petit rhombicosidodécaèdre diminué Petit rhombicosidodécaèdre diminué gyré
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie 65 tétraèdre tronqué augmenté tétraèdre tronqué augmenté 15 27 14 8 3 0 3 0 0 C 66 cube tronqué augmenté cube tronqué augmenté 28 48 22 12 5 0 0 5 0 C 67 cube tronqué biaugmenté cube tronqué augmenté 32 60 30 16 10 0 0 4 0 D 68 dodécaèdre tronqué augmenté dodécaèdre tronqué augmenté 65 105 42 25 5 1 0 0 11 C 69 dodécaèdre tronqué parabiaugmenté dodécaèdre tronqué augmenté 70 120 52 30 10 2 0 0 10 D 70 dodécaèdre tronqué métabiaugmenté dodécaèdre tronqué augmenté 70 120 52 30 10 2 0 0 10 C 71 dodécaèdre tronqué triaugmenté dodécaèdre tronqué augmenté 75 135 62 35 15 3 0 0 9 C 72 gyro-rhombicosidodécaèdre rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C 73 parabigyro-rhombicosidodécaèdre rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 D 74 métabigyro-rhombicosidodécaèdre rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C 75 trigyro-rhombicosidodécaèdre rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C 76 rhombicosidodécaèdre diminué rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C 77 rhombicosidodécaèdre paragyrodiminué rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C 78 rhombicosidodécaèdre métagyrodiminué rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C 79 rhombicosidodécaèdre bigyrodiminué rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C 80 rhombicosidodécaèdre parabidiminué rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 D 81 rhombicosidodécaèdre métabidiminué rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 C 82 rhombicosidodécaèdre gyrobidiminué rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 C 83 rhombicosidodécaèdre tridiminué rhombicosidodécaèdre diminué 45 75 32 5 15 9 0 0 3 C
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