Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram, auxquels on adjoint parfois celui de Jacques-Louis Lions – est un théorème de mathématiques s'appliquant à certains problèmes aux dérivées partielles exprimés sous une formulation faible (appelée également formulation variationnelle). Il est notamment l'un des fondements de la méthode des éléments finis.
Énoncé Soient : un espace de Hilbert réel ou complexe muni de son produit scalaire noté , de norme associée notée ; une forme bilinéaire (ou une forme sesquilinéaire si est complexe) qui est : continue sur : , coercive sur (certains auteurs disent plutôt -elliptique) : ; une forme linéaire continue sur .
Sous ces hypothèses, il existe un unique de tel que l'équation soit vérifiée pour tout de :
.
Si de plus la forme bilinéaire est symétrique, alors est l'unique élément de qui minimise la fonctionnelle définie par pour tout de , c'est-à-dire :
.
Démonstration Cas général
Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur tel que . Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu tel que . La proposition se réécrit alors :
.
Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que est une bijection de sur . On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.
Par la coercivité de et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout
d'où pour tout de , ce qui montre que est injectif et d'image fermée. Notons cette image. Par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que .
Soit ensuite un élément de , on a par définition et donc :
d'où . Ainsi, est réduit à , ce qui montre que est surjectif.
L'endomorphisme est bijectif ; il existe donc un unique de tel que et il est donné par .
Remarque
Sans calculer , on a l'inégalité
où désigne la norme de l'espace dual .
Cas symétrique
Si la forme bilinéaire est symétrique, on a pour tout de :
.
Comme est l'unique solution de la proposition , cela donne
.
Et comme est coercive, on a :
.
On a donc pour tout , d'où le résultat .
Applications Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis ; on peut en effet montrer que si, au lieu de chercher dans , on cherche dans , un sous-espace de de dimension finie , alors : dans le cas où est symétrique, est le projeté de au sens du produit scalaire défini par ; si l'on se donne une base de , le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire : avec et . On peut obtenir une estimation d'erreur à l'aide du lemme de Céa. Bibliographie
Articles connexes
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Catégorie:Équations différentielles numériques Lax-Milgram Lax-Milgram Catégorie:Espace de Hilbert Catégorie:Méthode des éléments finis