Le théorème de Wolstenholme est un résultat arithmétique sur les coefficients binomiaux, démontré en 1862 par Joseph Wolstenholme. Il énonce que pour tout nombre premier , on a :
Par exemple pour , .
La congruence analogue modulo avait été démontrée en 1819 par Charles Babbage.
La preuve originelle de Wolstenholme n'utilise que des calculs algébriques élémentaires. Il montre d'abord que si (respectivement ) est écrit sous forme d'une fraction d'entiers, alors le numérateur de cette fraction est divisible par (resp. ). Il déduit enfin son théorème de ces deux résultats. Ceux-ci sont parfois aussi intégrés dans le théorème.
Problème réciproque Comme pour le théorème de Wilson : , qui constitue une condition nécessaire et suffisante pour que soit premier, on conjecture que constitue une condition nécessaire et suffisante pour que soit premier, car cette propriété est vraie jusqu'à , mais cette conjecture n'est pas prouvée .
Voir aussi
Le théorème de Lucas qui donne . Les nombres premiers de Wieferich, vérifiant .
Notes et références
Wolstenholme Catégorie:Fraction