Un cryptarithme, aussi connu sous les noms d'arithmétique verbale, d'alphamétique et de cryptarithmétique, est un casse-tête numérique et logique qui consiste en une équation mathématique où les lettres représentent des chiffres à trouver.
Description L'équation comporte habituellement des opérations mathématiques de base, telles l'addition et la multiplication. L'exemple le plus connu, publié en dans The Strand Magazine, est dû à Henry Dudeney :
Chaque lettre correspond à un chiffre différent et le premier chiffre de chaque nombre est différent de zéro. Idéalement, le casse-tête doit avoir une solution unique.
La solution est O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 et S = 9. Une méthode de résolution détaillée est décrite plus bas.
Historique Ce casse-tête est relativement ancien et son inventeur est inconnu. Par exemple, le magazine The American Agriculturalist de 1864 démontre que ce n'est pas Sam Loyd, un spécialiste américain de casse-têtes mathématiques, qui a développé ce casse-tête. Le nom crypt-arithmétique est dû au Belge Minos qui en fait le premier usage en dans Sphinx, un magazine belge de mathématiques ludiques. En 1955, James Alston Hope Hunter introduit le mot « alphametic » pour identifier des cryptarithmes dont les lettres forment des mots ou des phrases intelligibles.
Résolution Pour résoudre à la main un cryptarithme, il faut faire des déductions astucieuses et une recherche extensive parmi les possibilités. Par exemple, dans l'exemple fourni au début de l'article, le M du résultat est 1, puisqu'il s'agit de la retenue de la somme de deux chiffres. Il est donc logique d'estimer que S=9 ou S=8, puisque ce sont les deux seuls nombres qui peuvent donner une retenue lorsqu'additionnés à M=1 ou M=2 (de M O R E).
L'utilisation de l'arithmétique modulaire peut aider à résoudre. En particulier, la réduction par 9 est souvent utile. Toujours dans l'exemple, ce principe affirme que S+E+N+D + M+O+R+E doit égaler M+O+N+E+Y modulo 9, donc S+E+D+R-Y est exactement divisible par 9.
En informatique, les cryptarithmes sont facilement résolubles à l'aide du retour sur trace. Ils servent aussi en tant qu'application pédagogique pour analyser les performances des algorithmes qui génèrent les permutations de n objets.
Exemples Voici les plus beaux exemples en français (compilés par Naoyuki Tamura ) et complétés au moyen d'une recherche exhaustive avec tous les nombres :
HUIT + HUIT = SEIZE
UN + UN + NEUF = ONZE
CINQ + CINQ + VINGT = TRENTE
ZERO + NEUF + NEUF + DOUZE = TRENTE
ZERO + ZERO + ZERO + UN + DOUZE = TREIZE
ZERO + ZERO + SEPT + SEPT + SEIZE = TRENTE
ZERO + UN + TROIS + ONZE + QUINZE = TRENTE
ZERO + TROIS + TROIS + TROIS + SEPT = SEIZE
ZERO + TROIS + TROIS + DOUZE + DOUZE = TRENTE
ZERO + QUATRE + QUATRE + ONZE + ONZE = TRENTE
UN + UN + QUATRE + DOUZE + DOUZE = TRENTE
UN + DEUX + DEUX + DEUX + DEUX = NEUF
UN + QUATRE + CINQ + CINQ + QUINZE = TRENTE
TROIS + TROIS + TROIS + CINQ + SEIZE = TRENTE
QUATRE + QUATRE + QUATRE + NEUF + NEUF = TRENTE
3 × MOT = TOM - 1.
Notes et références
Voir aussi Bibliographie Henry Dudeney, The Strand Magazine, vol. 68, , p. 97 et 214. Martin Gardner, Mathematics, Magic, and Mystery, Dover, 1956. . Le Journal of Recreational Mathematics maintient une chronique sur ce puzzle J. A. H. Hunter, Globe and Mail (), p. 27.
Articles connexes Équation diophantienne Sphinx
Liens externes Cryptarithms sur cut-the-knot
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