En mathématiques, linégalité d'Olech-Opial, connue aussi sous le nom dinégalité d'Opial ou inégalité d'Olech-Opial-Beesack ou inégalité d'Olech-Opial-Levinson, se rencontre dans l'étude des problèmes aux limites en calcul différentiel. Elle porte le nom du mathématicien polonais Czesław Olech.
Énoncé
L'inégalité d'Olech-Opial s'énonce ainsi:
Démonstration On donnera la démonstration de Mallows, plus courte que les originales.. On pose , de sorte que . Ainsi :
Or, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne :
ce qui permet de conclure.
Historique Opial prouve l'inégalité en 1960 et Olech montre qu'elle reste valide dans des conditions plus faibles (pour non plus continue mais seulement de carré Lebesgue-intégrable). Beesack et Levinson. sont parmi les premiers à donner des démonstrations plus simples de l'inégalité, ce dernier étendant le résultat aux fonctions à valeurs complexes.
Applications L'inégalité d'Olech-Opial et ses variantes sont utilisées dans l'étude des solutions d'équations intégro-différentielles et de problèmes aux limites..
Voir aussi Inégalité de Cauchy-Schwarz Inégalité de Wirtinger
Références
Olech-Opial