Le théorème KAM est un théorème de mécanique hamiltonienne qui affirme la persistance de tores invariants sur lesquels le mouvement est quasi périodique, pour les perturbations de certains systèmes hamiltoniens.
Il doit son nom aux initiales de trois mathématiciens qui ont donné naissance à la théorie KAM : Kolmogorov, Arnold et Moser. Kolmogorov annonça un premier résultat en 1954, mais il ne donna que les grandes lignes de sa démonstration. Le théorème de Kolmogorov fut démontré rigoureusement en 1963 par Arnold. Moser obtint au même moment un théorème de type KAM dans un cadre différentiable.
On pensait autrefois que l'hypothèse ergodique de Boltzmann s'appliquait à tous les systèmes dynamiques non-intégrables. Le théorème KAM met en défaut cette hypothèse, comme c'était déjà le cas avec le résultat de l'expérience de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (1953). En effet, le théorème KAM nous apprend que la perturbation d'un système intégrable ne conduit pas nécessairement à un système ergodique, mais que des tores invariants peuvent subsister dans des régions de mesure finie de l'espace des phases, correspondant à des îlots où la dynamique du système perturbé reste quasi périodique.
En mécanique céleste newtonienne, dans le cadre du problème, restreint et circulaire, à trois corps isolés en interaction gravitationnelle, le théorème KAM est utilisé pour établir tant l'instabilité de trois (L, L et L) des cinq points de Lagrange que la stabilité des deux autres (L et L). Au , Joseph Liouville avait établi dès l'instabilité des trois premiers points (L, L et L) dès ; puis Gabriel Gascheau en et, indépendamment de lui, Edward J. Routh en , la condition de stabilité de deux autres (L et L).
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
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Vladimir I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag ( édition-1989) . Vladimir I. Arnold, V.V. Kozlov & A.I. Neishtadt, Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag ( édition-1993). Henk W. Broer, KAM Theory: The Legacy of Kolmogorov's 1954 Paper, Bulletin of the American Mathematical Society 41(4) (2004), 507-521. Texte disponible en ligne. Jacques Féjoz, Introduction to KAM Theory, en ligne. Mauricio Garay, Théorie KAM, en ligne. Kolmogorov-Arnold-Moser theory from Scholarpedia.
Articles connexes Expérience de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou Théorie ergodique Théorie du chaos Mécanique céleste | Point de Lagrange Jürgen K. Moser | Andreï Kolmogorov | Vladimir Arnold
Catégorie:Mécanique hamiltonienne Catégorie:Géométrie symplectique KAM