Les mathématiques en Égypte antique étaient fondées sur un système décimal. Chaque puissance de dix était représentée par un hiéroglyphe particulier. Le zéro était inconnu. Toutes les opérations étaient ramenées à des additions. Pour exprimer des valeurs inférieures à leur étalon, les Égyptiens utilisaient un système simple de fractions unitaires.
Pour déterminer la longueur d'un champ, sa surface ou encore mesurer un butin, les Égyptiens utilisaient trois systèmes de mesure différents, mais tous obéissaient aux règles décrites ci-dessus.
Les rares documents mathématiques découverts à ce jour ne donnent qu'une vague idée de l'étendue des connaissances des anciens Égyptiens dans ce domaine. Toutefois, il est certain qu'ils parvenaient à proposer des résolutions de problèmes apparentés à des équations du premier et du second degré. Ils connaissaient les suites numériques et le calcul de volumes et de surfaces avait également atteint un certain degré de complexité.
Brève histoire des mathématiques dans l'Égypte antique
Si l'on a souvent sous-estimé les connaissances scientifiques des anciens Égyptiens, c'est sans doute à cause du peu de documents dont nous disposons. Les plus anciens sont les inscriptions contenues sur les murs de quelques temples ou tombes, comme celles de la tombe de Metjen (, vers 2500 av. J.-C.) qui montrent que les Égyptiens savaient à cette époque calculer correctement la surface d'un rectangle.
Les ostraconsFragments de céramique ou de calcaire utilisés comme brouillons par les scribes. apportent également quelques témoignages de l'art des mathématiques égyptiennes. Le plus remarquable est sans doute celui retrouvé à Saqqarah sur lequel figure une courbe placée sur un quadrillage carré. Daté de avant notre ère, il montre que dès cette première génération de bâtisseurs, les Égyptiens avaient suffisamment de connaissances mathématiques pour élaborer ce type de problème.
Enfin viennent les papyrus. Plus fragiles, ils ont moins résisté au temps et ceux qui sont parvenus jusqu'à nous sont, de fait, postérieurs aux pyramides. Seule, une poignée d'entre eux traite de mathématiques. Citons par exemple le papyrus de Berlin ou celui de Moscou, découvert en 1893 par l'égyptologue russe Vladimir Golenichtchev et conservé au Musée des Beaux-Arts de Moscou. Daté de la fin du Moyen Empire et rédigé en écriture hiératique, il contient vingt-cinq problèmes mathématiques. Mais le papyrus mathématique le mieux conservé, le plus complet et le plus prestigieux est le papyrus Rhind, du nom de son premier propriétaire l'Écossais Alexander Henry Rhind, qui l'acheta peu après sa découverte à Thèbes en 1857. Rédigé en écriture hiératique et daté du début du avant notre ère, c'est une copie d'un document plus ancien. Il présente une suite de quatre-vingt-sept problèmes mathématiques, accompagnés de leurs solutions.
Selon certains auteurs, certaines connaissances des mathématiques grecques auraient pu venir de l'Égypte antiqueDominique Mallet, Les premiers établissements des Grecs en Égypte (VIIe et VIe siècles), 1893.
Numération égyptienne
Les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient un système de numération décimal, mais dans lequel le zéro n'existait pas. Chaque ordre de grandeur (unités, dizaines, centaines, etc.) possédait un signe répété le nombre de fois nécessaire. C'était donc un système additionnel.
Les unités de mesure
Plusieurs systèmes coexistaient selon le type de mesure désirée.
Pour mesurer des longueurs, il existait deux systèmes.. Le premier, le système à division digitale, était basé sur la grande coudée ou coudée royale (meh ni-sout). Cette coudée représentait la distance entre le bout du majeur et la pointe du coude et mesurait un peu plus de . Cette unité était celle utilisée en architecture, mais aussi pour la hauteur d'une crue. Cent coudées constituent un khet. Le système fut réformé sous la XXVIe dynastie égyptienne : une coudée royale, divisée avant réforme en sept palmes et vingt-huit doigts, valut après réforme six palmes et vingt-quatre doigts..
Le deuxième système, le système à division onciale, était lui basé sur la coudée sacrée (meh djeser). Celle mesurait quatre palmes ou seize doigts, soit 4/7 (1/2+1/14) de la coudée royale avant réforme., et 2/3 de celle-ci ensuite.. La canne, de 2+1/3 coudées sacrées avant réforme, et de deux coudées sacrées après réforme, conserve une valeur d'environ .. Il était principalement utilisé pour la décoration des tombes, temples et palais.
Pour les surfaces, l'unité de mesure était l'aroure. Elle représentait un carré de un khet (cent coudées) de côté. On nommait coudée de terre (meh) une bande d'une coudée sur cent. L'aroure était utilisée pour mesurer des terres, et construire un cadastre précis après chaque crue.
Pour mesurer des volumes, l'unité de mesure était l'heqat. Les mesures s'effectuaient grâce à un sac de cuir de vingt heqat. Les Égyptiens avaient réussi à établir une correspondance de ce système avec celui des longueurs : il y avait équivalence entre le cube de la coudée royale et trente heqat. L'heqat était utilisé pour mesurer les récoltes de grain.
Pour mesurer un poids, l'unité de mesure était le deben. À l'Ancien Empire, son poids variait selon le type du produit pesé (or, cuivre…), mais au Nouvel Empire, ce système se simplifia et ne garda qu'un étalon unique (d'environ ). De petits cylindres en pierre servaient à la mesure et matérialisaient cet étalon. Cette unité servait à mesurer l'importance d'un butin ou d'un poids de métaux précieux utilisés pour une décoration.
Les fractions
Il existe deux systèmes de notation, celui dit de l'Œil oudjat pour des fractions binaires, et celui consistant à diviser un nombre (souvent un) par un autre, souvent supérieur. Les Égyptiens disposaient de techniques d'addition et de multiplication.
L'Œil d'Horus ou Œil Oudjat
vignette|L'Oudjat (vue de droite à gauche).
Une hypothèse célèbre lancée en 1911 par l'égyptologue Georg Möller consiste à identifier certains signes utilisés pour exprimer des capacités en grain avec des parties du dessin, stylisées, de l'Œil d'Horus, une représentation de l'œil gauche d'Horus perdu puis retrouvé.
Selon la légende, Seth le lui ôta par jalousie et le découpa en plusieurs morceaux, Thot en retrouva six morceaux (qui dans l'hypothèse de Möller, largement reprise, représentaient les six fractions, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 et 1/64) mais il manquait encore 1/64 pour faire l'unité. Thot y aurait ajouté alors « le liant magique » permettant à l'œil de recouvrer son unité.
On trouve ces signes par exemple dans certaines sections du papyrus Rhind, les deux dernières vérifications de la section R37 et la dernière de la section R38 sont ainsi proposées sous forme de volumes de grains en heqat et écrites avec ces signes, de même que le calcul de la section R64Sylvia Couchoud, Mathématiques égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, ..
Möller voyait dans cette identification la source (religieuse, donc) des signes utilisés pour les fractions. Cette hypothèse a été abandonnée avec la découverte de nouveaux textes permettant de retracer le développement de ces signes ; ..
Fractions ordinaires vignette|Un relief sur trois colonnes du temple d’Horus, à Edfou. À g. : 2/3 et 1/12, et à d. : 1/30 et 1/40 N'importe quelle fraction que nous écrivons avec un numérateur non unitaire était écrite par les anciens Égyptiens comme une somme de fractions unitaires sans que deux de ces dénominateurs soient les mêmes.
Le hiéroglyphe en forme de bouche ouverte qui signifie partie, était utilisé pour représenter le numérateur 1 : D21 Les fractions étaient écrites avec ce hiéroglyphe dessus et le dénominateur en dessous. Ainsi 1/3 était écrit : D21:Z1*Z1*Z1
Il y avait des symboles spéciaux pour les fractions les plus courantes comme 1/2 et pour deux fractions non unitaire 2/3 et 3/4 : Aa13 D22 D23
Si le dénominateur devenait trop large, la « bouche » était placée juste au début du dénominateur : D21:V1*V1*V1-V20*V20:V20*Z1
La « table de 2 » du papyrus Rhind
Le papyrus Rhind (environ -1650) qui est conservé au British Museum de Londres, est le plus important document nous informant des connaissances mathématiques des temps anciens. Il comporte quatre-vingt-quatre problèmes résolus d'arithmétique, de géométrie et d'arpentage. Mais, avant de prendre connaissance de ces problèmes, l'égyptien devait avoir à sa disposition différentes tables lui permettant de décomposer directement les fractions non unitaires en fractions unitaires. Une de ces tables, la table dite « des fractions doubles » ou « de 2/n », se trouve en première position sur le Papyrus de Rhind. Elle répertorie les fractions dont le numérateur est 2 et dont le dénominateur n impair varie de 3 à 101, et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires.
Quelques exemples de décomposition en fractions unitaires de la table de 2 :
2/5 → 1/3 + 1/15 2/7 → 1/4 + 1/28 2/9 → 1/6 + 1/18 2/11 → 1/6 + 1/66 2/101 → 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606
Ces différents résultats furent obtenus par les anciens égyptiens en appliquant la technique de la division.
Exemple de 2/5 :
1 5 2/3 3 + 1/3 ✔ 1/3 1 + 2/3 ✔ 1/15 1/3 1/3 + 1/15 2
(1 + 2/3) + 1/3 = 2 par conséquent le résultat est 1/3 + 1/15.
Connaissances arithmétiques
vignette|Papyrus de Rhind. Les Égyptiens connaissaient les quatre opérations, pratiquaient le calcul fractionnaire, étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position et de résoudre certaines équations du second degré. Le papyrus Rhind explique comment calculer l'aire d'un cercle en utilisant une approximation fractionnaire de pi : 4x(8/9)x(8/9)=3,16. Le papyrus de Moscou, quant à lui, explique entre autres comment calculer le volume d'une pyramide tronquée et la surface d'une demi-sphère, montrant que les anciens Égyptiens avaient de bonnes connaissances en géométrie.
Addition et soustraction
Bien qu'aucune explication ne soit fournie par les papyrus mathématiques, le système additionnel de la numération égyptienne rend toutes naturelles les opérations d'addition et de soustraction.
L'addition de deux nombres consistait à compter le nombre de symboles total correspondant à une même grandeur. Si le nombre de cette grandeur dépassait dix, le scribe remplaçait ces dix symboles par le symbole de la grandeur supérieure.
Exemple 2343 + 1671
+
nous donne
Soit :
Finalement, le résultat est :
Multiplication
La technique de multiplication en Égypte antique reposait sur la décomposition d'un des nombres (généralement le plus petit) en une somme et la création d'une table de puissance pour l'autre nombre. Très souvent, cette décomposition s'effectuait suivant les puissances de deux. Mais celle-ci pouvait varier en fonction de la complexité de l'opération. Le plus petit nombre pouvait ainsi être décomposé alternativement suivant les puissances de deux, les dizaines et les fractions fondamentales telles que 2/3, 1/3, 1/10, etc.
Division
La technique de division en Égypte antique reposait sur le même principe que la multiplication, en ce sens où des tables constituées de puissances de deux successives, de fractions fondamentales et de dizaines étaient utilisées pour résoudre le problème.
Carré et racine carrée
Le carré d'une valeur appliqué au calcul d'une surface peut sans aucun problème être assimilé à une simple multiplication. Par contre, les racines carrées, dont il est assuré qu'elles furent connues des anciens Égyptiens, n'ont laissé aucun document nous permettant de comprendre la technique d'extraction opérée par eux.
L'énoncé du problème mathématique du papyrus Berlin 6619 (voir § Équations du second degré ci-dessous) contient la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16, soit 1 + 1/4 ; ainsi que la racine carrée de cent, c'est-à-dire dix.