En mathématiques, laOn peut noter que dans le corps des nombres réels, un entier naturel non nul est le carré de deux réels opposés. Celui des deux qui est positif est noté , et c'est lui que l'on appelle la racine carrée de – l'autre est son opposé, (négatif). Tous deux peuvent être appelés racines carrées de mais ce n'est pas usuel parce qu'il n'y a une façon standard (pour ne pas dire canonique) d'en choisir un – celui qui est positif. racine carrée d'un entier naturel est le nombre réel positif ou nul qui, multiplié par lui-même, donne cet entier. Elle se note ou . La racine carrée d'un entier positif est positive, la racine carrée de zéro est nulle.
La racine carrée de est un nombre algébrique, entier ou bien irrationnel.
Construction géométrique vignette|300x300px|Ces rectangles illustrent une construction à la règle et au compas de pour allant de 2 à 7. En géométrie plane, peut par exemple être construit à la règle et au compas via la suite de rectangles illustrée ci-contre.., ou via la spirale de ThéodorePlus précisément, ces deux méthodes de construction géométrique permettent, à partir d'un segment de longueur arbitraire , de construire des segments dont la longueur est, d'après le théorème de Pythagore : ..
Irrationalité Si un entier est le carré d'un nombre rationnel, alors est un entier. Cette propriété peut aussi s'énoncer comme suit : la racine carrée d'un entier est un entier si est un carré parfait, et irrationnelle dans tous les autres cas.
On peut la déduire de la proposition 8 du livre VIII des Éléments d'Euclide Euclid's Elements, Book VIII, Proposition 8, par David E. Joyce.. Des preuves usuelles font appel au lemme d'Euclide, au lemme de Gauss ou même au théorème fondamental de l'arithmétique.. Mais d'autres n'utilisent que des connaissances arithmétiques minimales, comme celle de Richard Dedekind. ou la suivante, essentiellement due à Theodor Estermann.. :
Soit un entier naturel dont la racine carrée est un rationnel, que l'on écrit sous la forme avec le plus petit possible (c'est-à-dire que est le plus petit entier strictement positif dont le produit par est entier), et soit la partie entière de . Alors, l'entier vérifie : et est entier (car et est entier). Or est le plus petit entier positif non nul tel que soit entier : donc on doit avoir et .
Une démonstration plus classique, mais qui se généralise aux racines n-ièmes d'un entier naturel, et même aux entiers algébriques, repose sur le lemme d'Euclide : Supposons que est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe et tels que . Quitte à les diviser par leur pgcd, et peuvent être supposés premiers entre eux. Un diviseur premier de diviserait donc diviserait d'après le lemme d'Euclide, donc (tout nombre supérieur à 2 possède un diviseur premier) et est un carré parfait.
Développement dans une base Si n'est pas un carré parfait, est irrationnel et, par conséquent, son développement en base est non périodique. Émile Borel a conjecturé en 1909 puis en 1950 que ce développement est normal, comme pour tout irrationnel algébrique., à savoir que tout bloc de chiffres consécutifs (par exemple 010) apparaît avec la même fréquence limite que n'importe lequel des blocs de même longueur. À ce jour, on ne sait en fait même pas démontrer qu'un chiffre donné apparaît une infinité de fois dans le développement..
Développements en fraction continue Fraction continue simple Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), le développement en fraction continue simple de , avec non carré, est périodique. Et plus précisément, d'après le théorème de Legendre, ce développement a la forme : : la période, de longueur , forme un palindrome de longueur suivi du double de la partie entière.. Voici des exemples : +23567810Développement de Page wikipediaRacine de 2Racine de 3Racine de 5Racine de 6Racine de 7Suite des numérateurs réduits des réduitesSuite des dénominateurs +1112131929Développement de Suite des numérateurs réduits des réduitesSuite des dénominateurs La liste des développements en fraction continue des racines carrées des nombres de 2 à 165 est donnée dans . La liste des longueurs des périodes de ces développements est la .
La suite des réduites, définie par est une suite récurrente homographique définie par pour et .
Écrivant la réduite de sous forme irréductible , les entiers sont définis par . De plus, si est impair, et si est pair, , voir l'article sur l'équation de Pell-Fermat.
Cas particuliers : la période est de longueur 1 pour : ; les réduites sont définies par et ; la période est de longueur 2 pour , diviseur strict de : .
Les entiers tels que la période du développement de est de longueur 1 ou 2 sont : 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 15, 17, 18, 20,..., cf. la .
Fraction continue généralisée La méthode de Bombelli utilisant pour la relation permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée suivant :.
Les réduites forment la suite définie par ..
Si , ce développement donne le développement en fraction continue simple : .
Méthode de Héron Par la méthode de Héron, est la limite de la suite définie par et qui a une vitesse de convergence quadratique (le nombre de chiffres exacts est à peu près doublé à chaque itération).
Propriétés
La suite est une sous-suite de la suite des réduites du développement de Bombelli ci-dessus initialisée au même réel . Précisément : .
On a avec et avec ; or il se trouve que ; montrons alors que .
Pour , on a bien , et si , alors , ce qui montre par récurrence .
On écrit alors .
La suite initialisée à est une sous-suite de la suite des réduites du développement en fraction continue simple. Précisément, .
Méthode de Halley La méthode de Halley fournit une suite qui croit encore plus rapidement vers (convergence cubique), définie par : .
La suite est une sous-suite de la suite des réduites du développement de Bombelli ci-dessus initialisée au même réel . Plus précisément : .
La démonstration est similaire à celle vue ci-dessus de la propriété concernant la suite de Héron avec cette fois la fonction définie par qui vérifie .
Notes et références Notes
Références
Voir aussi Bibliographie
Articles connexes Racine carrée Histoire de la racine carrée Racine carrée de 2 Racine carrée de 3 Racine carrée de 5 Racine carrée de 6 Racine carrée de 7 Racine carrée de 10 Fraction continue d'un irrationnel quadratique
Catégorie:Racine carrée Catégorie:Constante mathématique