Nombre de Fermat

thumb|Le mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) étudia les propriétés des nombres portant maintenant son nom.

Un nombre de Fermat est un nombre qui peut s'écrire sous la forme , avec entier naturel. Le nombre de Fermat de rang , , est noté .

La suite , qui débute par 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617 est répertoriée comme .

Ces nombres doivent leur nom à Pierre de Fermat, qui émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse, F5 étant composé, de même que tous les suivants jusqu'à F32. On ne sait pas si les nombres à partir de F33 sont premiers ou composés. Ainsi, les seuls nombres de Fermat premiers connus sont au nombre de cinq, à savoir les cinq premiers F0, F1, F2, F3 et F4, qui valent respectivement 3, 5, 17, 257 et .

Les nombres de Fermat disposent de propriétés intéressantes, en général issues de l'arithmétique modulaire. En particulier, le théorème de Gauss-Wantzel établit un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à côtés peut être construit à la règle et au compas si et seulement si peut s'écrire comme le produit d'une puissance de 2 et d'un sous-ensemble des nombres premiers de Fermat.

Histoire En 1640, dans une lettre adressée à Bernard Frénicle de Bessy, Pierre de Fermat énonce son petit théorème et commente : Ce théorème lui permet d'étudier les nombres portant maintenant son nom. Dans cette même lettreDans une autre lettre à Frénicle il écrit aussi : , Lettre XLIII, août ? 1640, dans ., il émet la conjecture que ces nombres sont tous premiers mais reconnaît : . Cette hypothèse le fascine ; deux mois plus tard, dans une lettre à Marin Mersenne, il écrit : Il écrit encore à Blaise Pascal : . Dans une lettre à Kenelm Digby, non datée mais envoyée par Digby à John Wallis le , Fermat donne encore sa conjecture () comme non démontrée (), lettre XCVI dans .. Toutefois, dans une lettre de 1659 à Pierre de CarcaviLettre CI, point 5, dans . Fermat énumère des questions qui se traitent par sa méthode de la descente infinie. Il place parmi ces questions sa conjecture (erronée) sur les nombres dits depuis nombres de Fermat et il ne dit plus, comme il l'avait fait dans des lettres antérieures, qu'il n'a pas encore trouvé de démonstration de cette conjecture., il s'exprime en des termes qui, selon certains auteurs, impliquent qu'il estime avoir trouvé une démonstrationC'est l'interprétation que donne H.M. Edwards, Fermat's Last Theorem, Springer, 1977, p. 24, prenant position contre les vues contraires de E.T. Bell, The Last Problem, New York, 1961, p. 256.. Si Fermat a soumis cette conjecture à ses principaux correspondants, elle est par contre absente des Arithmétiques de Diophante rééditées en 1670, où son fils retranscrivit les quarante-sept autres conjectures qui furent plus tard prouvées. C'est la seule conjecture erronée de Fermat.

En 1732, le jeune Leonhard Euler, à qui Christian Goldbach avait signalé cette conjecture trois ans auparavant., la réfute. : F5 est divisible par 641. Il ne dévoile la construction de sa preuve (présenté en 1747/48). que quinze ans plus tard. Il y utilise une méthode similaire à celleDécrite dans qui avait permis à Fermat de factoriser les nombres de Mersenne M et MFermat, dans sa lettre XL à Mersenne de juin ? 1640 , découvre pour M le diviseur 6 × 37 + 1, après avoir détaillé sa méthode sur l'exemple connu M = 23 × 89. Dans sa lettre XLIII à Frénicle (août ? 1640) déjà citée, il signale de plus, pour M, le diviseur 47..

Il est probable que les seuls nombres premiers de cette forme soient 3, 5, 17, 257 et , car Boklan et Conway. ont prépublié en une analyse très fine estimant la probabilité d'un autre nombre premier à moins d'un sur un milliard.

Propriétés Premières propriétés La suite des nombres de Fermat peut se définir par récurrence simple :

ou par récurrence double :

ou par récurrence forte :

ou encore : .

On en déduit le théorème de Goldbach. affirmant que :

Soit le nombre de chiffres utilisés pour écrire en base .

où les crochets désignent la fonction partie entière et le logarithme de base .

La suite , qui débute par 1, 1, 2, 3, 5, 10, 20, 39, 78, 155 est répertoriée comme .

Tous les nombres de Fermat à partir de se terminent par le chiffre 7 en écriture décimale.

Les nombres de Fermat premiers ne sont pas des nombres brésiliens alors que les nombres de Fermat composés sont tous des nombres brésiliensB. Schott, , Les nombres brésiliens, Quadrature, , 2010, Prop. 3 p.36..

Nombre de Fermat et primalité

La raison historique de l'étude des nombres de Fermat est la recherche de nombres premiers. Fermat connaissait déjà la proposition suivante appellent (avec un t en italique) les nombres premiers de la forme 2k + 1 avec k entier positif ou nul, qui sont donc 2 et les « vrais » nombres premiers de Fermat. :

Il existe deux entiers a impair et b tels que k = a 2b. En posant c = 2(2b), on dispose alors des égalités suivantes :

qui montrent que c + 1 est un diviseur du nombre premier 2k + 1 et donc lui est égal, si bien que k = 2b.

Fermat a conjecturé (erronément, comme on l'a vu) que la réciproque était vraie ; il a montré que les cinq nombres , , , et sont premiers. Actuellement, on ne connaît que cinq nombres de Fermat premiers, ceux cités ci-dessus.

On ignore encore s'il en existe d'autres, mais on sait que les nombres de Fermat Fn, pour n entre 5 et 32, sont tous composés ; F33 est le plus petit nombre de Fermat dont on ne sait pas s'il est premier ou composé.

En 2013Pour des résultats plus récents, voir par exemple ., le plus grand nombre de Fermat dont on savait qu'il est composé était : F2 747 497 ; l'un de ses diviseurs est le nombre premier de Proth 57×22 747 499 + 1..

Factorisation des nombres de Fermat composés Euler démontre le théorème :

(Lucas a même démontré plus tard que tout facteur premier d'un nombre de Fermat Fn est de la forme k.2 + 1.)

Ceci lui permet de trouver rapidement :

Tout facteur premier p d'un nombre de Fermat Fn est de la forme k.2n+1 + 1, où k est un entier.Modulo p, Fn est congru à 0 donc 22n est congru à –1, si bien que l'ordre multiplicatif de 2 dans l'anneau ℤ/pℤ est égal à Or cet ordre multiplicatif est un diviseur de , ce qui termine la démonstration. On peut le vérifier par un simple calcul, mais expliquons comment Euler découvrit le diviseur 641. On cherche un entier k tel que le nombre p = 64k + 1 soit à la fois premier et diviseur strict de F. Les premières valeurs de k ne conviennent pas, mais dès k = 10, on constate que est premier et que modulo p, donc et . Tout facteur premier p de Fn pour n > 1 peut s'écrire sous la forme s.2n+2 + 1, où s est un entier.D'après la démonstration précédente, p est de la forme k.2n+1 + 1. Édouard Lucas est allé plus loin :Comme n > 1, p est congru à 1 modulo 8. D'après la deuxième loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique, 2 est donc un résidu quadratique modulo p, c'est-à-dire qu'il existe un entier a tel que .Il est également possible de remarquer directement que 2 est un résidu quadratique modulo p, car Comme une puissance impaire de 2 est un résidu quadratique modulo p, 2 lui-même en est un aussi.On a alors , et .Ainsi l'ordre de a modulo p est égal à , et d'après le petit théorème de Fermat, p − 1 est donc divisible par ; p peut alors s'écrire sous la forme .

Le cas général est un problème difficile du fait de la taille des entiers Fn, même pour des valeurs relativement faibles de n. En 2020, le plus grand nombre de Fermat dont on connaisse la factorisation complète est F11 Richard P. Brent, Factorization of the Tenth and Eleventh Fermat Numbers, février 1996., dont le plus grand des cinq diviseurs premiers a 564 chiffres décimaux (la factorisation complète de Fn, pour n inférieur à 10, est, elle aussi, entièrement connue). En ce qui concerne F12, on sait qu'il est composé ; mais c'est, en 2020, le plus petit nombre de Fermat dont on ne connaisse pas la factorisation complèteDepuis le , on connaît six des diviseurs premiers de F12, mais toujours pas sa décomposition complète. Voir .. Quant à F20, c'est, en 2020, le plus petit nombre de Fermat composé dont on ne connaisse aucun diviseur premierAvant 2010, le plus petit tel nombre était F14. Le , un diviseur à 54 chiffres de F14 a été découvert par Tapio Rajala, Département de Mathématiques et Statistiques, Université de Jyväskylä, Finlande. Voir le site prothsearch et mersenneforum : k.2 + 1, où k est un nombre à 49 chiffres..

Série des inverses des nombres de Fermat La série des inverses des nombres de Fermat est convergente et sa somme Suite de l'OEIS. est irrationnelle. et même transcendante.. Ces résultats viennent de ce que cette somme est trop bien approchée par des rationnels.

Produit de nombres de Fermat consécutifs et application à l'infinitude des nombres premiers Une itération de l'identité remarquable donne . On en déduit que

= et que .

Ceci permet la démonstration suivante de l'infinitude des nombres premiers, démonstration se trouvant en deuxième position (après la démonstration d'Euclide) dans le livre des raisonnements divins. En effet, la relation précédente montre que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux. Choisir un diviseur premier de chacun d'entre eux fournit alors une suite infinie de nombres premiers.

Polygone régulier

Gauss et Wantzel ont établi un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 (éventuellement égale à 20 = 1) et d'un nombre fini (éventuellement nul) de nombres de Fermat premiers distincts.

Par exemple, le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas puisque 5 est un nombre de Fermat premier ; de même, un polygone à 340 côtés est constructible à la règle et au compas puisque 340 = 22.F1.F2.

Généralisations Il est possible de généraliser une partie des résultats obtenus pour les nombres de Fermat.

Pour que soit premier, doit nécessairement être pair et doit être une puissance de deux.

On appelle couramment « nombres de Fermat généralisés. » les nombres de la forme (avec ) Generalized Fermat Prime search., mais Hans Riesel a donné aussi ce nom aux nombres de la forme .. Le plus grand nombre premier de la forme connu en 2017 est , un nombre de plus d'un million de chiffres The prime database..

Notes et références

Voir aussi Test de Pépin Nombre trapézoïdal (les nombres triangulaires non trapézoïdaux font intervenir les nombres de Fermat premiers)

Suite de l'OEIS

Fermat Catégorie:Nombre premier Fermat Catégorie:Pierre de Fermat