En théorie des probabilités, linégalité de Gauss donne une borne supérieure à la probabilité qu'une variable aléatoire unimodale se trouve à plus d'une distance donnée de son mode.
Soit une variable aléatoire unimodale de mode , et soit soit l'espérance de . ( peut également être exprimée comme , où et sont la moyenne et l'écart type de ). Alors pour toute valeur positive de ,
Le théorème a été démontré pour la première fois par Carl Friedrich Gauss en 1823.
Comparaison avec d'autres inégalités de concentration La borne donnée par l'inégalité de Gauss est plus forte que celle de l'inégalité de Beinaymé-Tchebychev, mais elle possède deux inconvénients majeurs : la borne inférieure dans l'inégalité de Gauss n'est valide que sous des conditions très strictes et elle impose de connaitre la valeur, pour donné, si la valeur de est supérieure ou inféireure a ..
Extensions aux moments d'ordre supérieur Winkler a étendu en 1866 l'inégalité de Gauss aux moments d'ordre et la distribution est unimodale avec un mode en zéro. C'est ce qu'on appelle parfois l'inégalité de Camp-Meidell.
La borne de Gauss a été ultérieurement affinée et étendue pour s'appliquer aux écarts à la moyenne plutôt qu'au mode grâce à l'inégalité de Vysochanskiï-Petunin. Cette dernière a été étendue par Dharmadhikari et Joag-Dev
où est une constante satisfaisant à la fois et et .
On peut montrer que ces inégalités sont les meilleures possibles et qu’un affinement supplémentaire des limites nécessite que des restrictions supplémentaires soient placées sur les distributions.
Voir aussi
l'inégalité de Vysochanskiï-Petunin, un résultat similaire pour la distance à la moyenne plutôt que pour le mode l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev concerne la distance à la moyenne sans nécessiter l'unimodalité Inégalités de concentration – un résumé des limites de queue sur les variables aléatoires.
Références
Bibliographie
Catégorie:Inégalité en probabilités