Les équations de Friedmann-Lemaître sont les équations de la relativité générale (appelées équations d'Einstein) écrites dans le contexte d'un modèle cosmologique homogène et isotrope, ce dernier étant représenté par une métrique de Robertson-Walker.

Dans le cadre de la relativité générale, l'Univers, supposé spatialement homogène et isotrope, est modélisable comme une variété d'espace-temps dont la métrique est celle de Robertson-Walker ; en supposant, de plus, que le contenu de l'Univers est un fluide parfait, les équations d'Einstein se réduisent à deux équations différentielles : les équations de Friendmann-Lemaître. Elles décrivent une classe générale de modèles cosmologiques : les modèles de Friedmann-Lemaître.

Elles régissent donc l'évolution du taux d'expansion de l'Univers et par suite de la distance entre deux astres lointains (le facteur d'échelle) et en fonction du temps appelé dans ce contexte temps cosmique. L'évolution de ces quantités est déterminée par les propriétés du contenu matériel de l'Univers (rayonnement, atomes, matière noire, constante cosmologique), et éventuellement par la théorie de la gravitation considérée ; il est en effet possible de remplacer la relativité générale par une autre théorie relativiste de la gravitation. Il peut par exemple s'agir d'une théorie tenseur-scalaire. Une autre façon de changer le modèle est de considérer la relativité générale standard mais dans un univers possédant une ou plusieurs dimensions supplémentaires. C'est le cas des modèles de cosmologie branaire.

Les équations de Friedmann-Lemaître sont le fondement de la quasi-totalité des modèles cosmologiques, dont le Big Bang.

Histoire Les éponymes des équations de Friedmann-Lemaître sont le physicien russe Alexandre Friedmann (-) et le physicien belge Georges Lemaître (-). Friedmann est le premier des deux à les avoir proposées : d'abord dans un article paru en et relatif au cas des espaces à courbure spatiale positive ; puis dans un article paru en 1924 et plus général, incluant le cas d'une courbure spatiale négative. Peu de temps après Friedmann et indépendamment de celui-ci, Lemaître retrouve ces équations qu'il publie en et interprète sans ambiguïté le phénomène d'expansion qu'elles impliquent et prédisant ou expliquant la loi de Hubble avant que celle-ci ne soit découverte en 1929. Auparavant, en 1917, Albert Einstein les a écrites dans le cas particulier d'un univers statique, ainsi que Willem de Sitter dans le cas d'un univers vide de matière, mais avec une constante cosmologique. La métrique de l'espace-temps et sa forme générale sont trouvées et présentées sous une forme unifiée par Howard P. Robertson en 1929, puis indépendamment par Arthur G. Walker en 1936. Pour toutes ces raisons, le type de modèle cosmologique décrit par ces équations est appelé univers de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (abrégé en FLRW).

Bien que Friedmann et Lemaître soient considérés comme les codécouvreurs des équations, le nom de Lemaître est souvent omis. En particulier, d'une part, l'expression (au singulier) est employée pour désigner une des deux équations, à savoir : ; et, d'autre part, l'expression (au pluriel) est employée pour désigner les deux équations dans le cas . L'ordre des noms est rarement inversé et celui de Friedmann est plus rarement omis que celui de Lemaître.

Les deux équations de Friedmann-Lemaître Les équations des Friedmann-Lemaître sont un ensemble de deux équations exprimant l'évolution du facteur d'échelle cosmologique en fonction du temps cosmologique , et décrivant l'expansion de l'Univers. La première relie le taux d'expansion ou paramètre de Hubble , la courbure spatiale et le facteur d'échelle à la densité volumique de masse ρ; la seconde relie la pression P à la dérivée temporelle du taux d'expansion. La variable de temps utilisée est le temps cosmique, qui correspond essentiellement au temps mesuré sur Terre. Dans le cadre de la relativité générale, ces deux équations s'écrivent : , , où G est la constante de Newton et c la vitesse de la lumière (la quantité est parfois appelée constante d'Einstein). Ces deux équations ne sont pas indépendantes : la seconde s'obtient en prenant la dérivée temporelle de la première, et en utilisant le principe des équations de conservation appliqué à la conservation de l'énergie, reliant la dérivée de la densité d'énergie à la pression. Quand on considère une extension de la relativité générale ou une autre théorie, ces équations sont modifiées. Pour cette raison, l'expression « équation de Friedmann » est parfois employée au singulier, auquel cas la seule équation considérée est la première.

Il peut arriver (par exemple dans les modèles à dimensions supplémentaires) qu'elles ne soient plus conséquences l'une de l'autre. Dans les autres cas, il est possible de combiner les deux équations de façon à modifier la seconde, soit pour ne faire apparaître qu'une certaine combinaison de la pression et de la densité d'énergie dans le membre de droite, soit pour ne faire apparaître que la dérivée seconde du facteur d'échelle dans le membre de gauche (voir paragraphe ci-dessous). Il est également possible d'effectuer un changement de variable pour utiliser le temps conforme plutôt que le temps cosmique. La résolution de ces équations s'effectue une fois la dépendance de la densité d'énergie et de la pression par rapport au temps ou au facteur d'échelle connus. Certaines solutions exactes sont connues.

Dans le cadre du modèle standard de la cosmologie (modèle Big Bang), l'allure générale du facteur d'échelle a(t) en fonction de la courbure spatiale K et de la constante cosmologique Λ est connue..

Quelques solutions particulières

Quand le membre de droite ne comporte qu'une seule espèce, et en l'absence de courbure spatiale, les équations de Friedmann peuvent être résolues sans difficulté. En présence de plusieurs types de matière et/ou de courbure, des solutions analytiques exactes peuvent parfois être trouvées. Dans les autres cas, une résolution numérique des équations se fait sans difficulté.

Univers de poussière

Quand l'Univers est empli de matière non relativiste (c'est-à-dire dont la pression est négligeable, d'où le terme de « poussière »), la densité d'énergie décroît uniquement du fait de la dilution due à l'expansion. On parle aussi d'ère de la matière. Pour un univers de densité critique, appelé univers d'Einstein-de Sitter, le facteur d'échelle évolue alors selon la loi , les quantités a et t correspondant au facteur d'échelle et au temps évalués à une époque de référence donnée. De plus, l'âge de l'Univers à cette époque, t se déduit du taux d'expansion à la même époque par .

Une telle solution est appelée, pour des raisons historiques univers d'Einstein-de Sitter, bien que ces derniers ne soient pas les premiers à avoir exhibé cette solution.

Dans un tel modèle, l'univers est donc plus jeune que le temps de Hubble. Les premières déterminations de Hubble (quelque 520 kilomètres par seconde et par mégaparsec) étaient erronées par suite de mauvais étalonnage sur les Céphéides (il en existe de deux types !) ce qui conduisait à un âge de l'univers autour de 2 milliards d'années (!) bien plus jeunes que les espèces déjà vivant sur Terre. Cet âge étant significativement inférieur à l'âge estimé de nombreux objets astrophysiques (certaines étoiles, naines blanches, et la Voie lactée dans son ensemble), il est considéré qu'un tel univers de poussière ne peut correspondre à l'univers observable, ce qui est une des indications parmi d'autres de l'existence de l'énergie noire (voir ci-dessous).

On peut consulter utilement les récents articles qui résument l'évolution de la constante de Hubble, tenant compte de plusieurs générations d'expériences. Actuellement, d'après les résultats de WMAP (2003), la valeur mesurée de la constante de Hubble est donnée 70,1 ± 1,3 kilomètres par seconde et par mégaparsec, correspondant à un âge de 13,7 ± 1% milliards d'années. Il est aussi à noter que la dépendance du facteur d'échelle par rapport au temps est telle que sa dérivée seconde est négative, ce qui correspond à une phase d'expansion décélérée, compatible avec l'intuition que la nature attractive de la gravité a tendance à ralentir le mouvement d'expansion. Les observations, en particulier celle des supernovae de type Ia, suggèrent que la phase actuelle d'expansion est accélérée, ce qui est une autre indication de la nécessité de la présence d'énergie noire. Il est par contre certain que l'univers a connu par le passé une phase où son expansion était dominée par de la matière non relativiste, car c'est la seule époque où le mécanisme d'instabilité gravitationnelle peut se produire.

Univers de radiation

Quand l'Univers est empli de matière relativiste ou de radiation (ère radiative), la densité d'énergie ρ décroît plus vite que précédemment car en plus de la dilution due à l'expansion, l'énergie des particules individuelles décroît avec l'expansion (ce n'est rien d'autre que l'effet de décalage vers le rouge). La densité décroissant plus vite, le taux d'expansion décroît également plus vite, et l'expansion décélère plus rapidement que dans le cas d'un univers de poussière. Le facteur d'échelle évolue selon la loi . L'âge de l'univers dans un tel modèle s'écrit alors .

Comme dans le cas de l'Univers de poussière, l'expansion est décélérée et l'âge donné par ce modèle ne peut correspondre aux observations. Ce modèle correspond par contre bien aux époques reculées de l'histoire de l'Univers, quand la quasi-totalité de la matière était sous forme relativiste. En particulier l'époque de la nucléosynthèse s'est produite quand la densité d'énergie était majoritairement due à de la matière relativiste, hypothèse que l'on teste directement par la mesure de l'abondance des éléments légers. D'autres indications du fait que l'Univers a connu une période dominée par la radiation est l'existence du fond diffus cosmologique.

Constante cosmologique

Une constante cosmologique peut s'interpréter comme une forme de matière de densité d'énergie constante et de pression exactement opposée à celle-ci. Quand la densité d'énergie est positive, les équations de Friedmann admettent, en l'absence de courbure spatiale, la solution exponentielle , le paramètre de Hubble étant constant au cours du temps. La domination de la constante cosmologique est l'ère de l'énergie noire.

Un tel modèle représente un univers éternel, sans commencement ni fin. C'est l'univers de de Sitter, obéissant au principe cosmologique parfait. Il existe une autre configuration donnant lieu à la même dynamique de l'expansion : les deux formes de matière sont alors de la matière ordinaire non relativiste, et une forme de matière extrêmement exotique, appelée champ C, responsable d'une création continue de matière compensant exactement la dilution due à l'expansion. C'est la base de la théorie de l'état stationnaire, aujourd'hui abandonnée en raison de l'absence totale de motivation théorique ou observationnelle du champ C. Enfin, en présence d'un champ scalaire, celui-ci peut, temporairement se comporter de façon extrêmement semblable à une constante cosmologique, comportement qu'il peut par la suite abandonner. Ainsi, il est possible que sous l'effet d'un tel champ scalaire, l'expansion de l'Univers connaisse une phase exponentielle. C'est la base des modèles d'inflation cosmique qui prédisent l'existence d'une telle phase à une époque très reculée de l'histoire de l'Univers.

Équation d'état constante

Tant que la pression est proportionnelle à la densité, avec une constante de proportionnalité constante, on peut résoudre les équations de Friedmann. On note w le rapport de la pression à la densité, .