La hiérarchie BBGKY (pour les initiales de : Bogolioubov, Born, Green, Kirkwood et Yvon) est une méthode permettant d'exprimer l'équation descriptive de la fonction de distribution d'un système à N corps sous forme d'une série d'équations de rang plus faible et ainsi de permettre diverses approximations.
Auteurs Plusieurs physiciens ont publié des travaux qui ont conduit à ce que l'on appelle aujourd'hui la hiérarchie BBGKY. Ce sont dans l'ordre alphabétique : B Nikolaï Bogolioubov (1946) BG Max Born et Herbert Green (1946) K John Kirkwood (1946) Y Jacques Yvon (1935) Yvon a développé en 1935 la notion de fonction de distribution à N particules. En 1946 divers physiciens ont publié des résultats utilisant la méthode décrite ici.
Formulation L'évolution d'un système classique constitué de N particules est donné par l'évolution de la fonction de distribution :
où les qi sont les coordonnées généralisées du système et les pi les quantités de mouvement de chaque particule. Il y a donc 6N variables dans un espace tridimensionnel.
Cette évolution est donnée par l'équation de Liouville :
où
| || est le potentiel d'interaction des particules i et j, |- | || un éventuel potentiel externe.
On définit à présent des fonctions de distribution pour des ensembles de 2, 3..., s particules :
En intégrant par parties l'équation de Liouville on obtient une hiérarchie d'équations pour chacun des ensembles :
Chaque équation sur fs fait apparaître au second membre toutes les fonctions de distribution d'ordre plus élevé. Telle quelle cette équation est équivalente à la précédente. Son intérêt est de permettre une troncation à l'ordre s en supposant que l'on sait exprimer fs+1 en fonction des termes de rang inférieur. Un exemple est l'équation de Vlassov dans laquelle on s'arrête à l'ordre 1 et on effectue une approximation de champ moyen : .
Notes et références
Bibliographie
Articles connexes Équation de Boltzmann Équation de Fokker-Planck
Catégorie:Physique statistique