En relativité générale, la est une solution de l'équation d'Einstein pour l'intérieur d'une boule statique de fluide parfait et incompressible. Elle est la plus simple des solutions analytiques qui permettent de modéliser l'intérieur d'une étoile relativiste.
Histoire L'éponyme de la métrique est l'astronome allemand Karl Schwarzschild (-). Celui-ci en annonce la découverte par une lettre à Albert Einstein (-) datée du . Le , Einstein présente l'article de Schwarzschild à l'Académie royale des sciences de Prusse qui le publie dans ses (« Comptes rendus ») le .
Conditions aux limites Les conditions aux limites sont les suivantes : La pression du fluide doit être nulle à la surface de la boule ; La densité d'énergie du fluide doit être constante pour et nulle à l'extérieur de la boule ; La métrique intérieure doit, à la surface de la boule, être identique à la métrique extérieure de Schwarzschild.
Expression En coordonnées de Schwarzschild et avec une signature , la métrique peut s'écrire : , où : est le rayon de la boule de fluide, est sa masse, est la constante gravitationnelle, est la vitesse de la lumière dans le vide, est la métrique d'une 2-sphère unité, , et avec : .
Propriétés Les propriétés d'une étoile modélisée par la métrique sont les suivantes.
La compacité de l'étoile est donnée par : , où : est la coordonnée r à la surface de l'étoile ; est la densité d'énergie à l'intérieur de l'étoile. Ainsi, la masse de l'étoile peut s'exprimer en fonction de et de : . Cela met en évidence qu'à fixé, est une fonction croissante de .
L'étoile modélisée par la métrique n'est pas réaliste car à l'intérieur, la vitesse du son est infinie alors qu'en relativité, elle ne doit pas dépasser la vitesse limite qui coïncide avec celle la lumière dans le vide.
Notes et références
Bibliographie
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