vignette|300px|Figure 1 : Un « ensemble de tuiles auto-pavantes parfait » d’ordre 4. Un ensemble de tuiles auto-pavantes, ou setiset, d’ordre n est un ensemble de n formes ou pièces, généralement planes, dont chacune peut être pavée avec des répliques réduites de l’ensemble complet des n formes. Autrement dit, les n formes peuvent être assemblées de n manières différentes de façon à former des copies agrandies d’elles-mêmes, avec le même facteur d’échelle dans chaque cas. La figure 1 montre un exemple pour n = 4 utilisant des décominos de formes distinctes.

Le concept peut être étendu à des pièces de dimension supérieure. Le terme setiset a été inventé par Lee Sallows en 2012Alejandro Erickson on Self-tiling tile sets, mais le problème de la recherche de tels ensembles pour n = 4 avait déjà été posé plusieurs décennies auparavant par C. Dudley Langford. Des exemples pour les polyabolos (découverts par Martin Gardner, Wade E. Philpott et d’autres) et pour les polyominos (découverts par Maurice J. Povah) avaient déjà été publiés par GardnerPolyhexes and Polyaboloes, dans Mathematical Magic Show, par Martin Gardner, Knopf, 1977, p. 146-159..

Exemples et définitions vignette|300px|Figure 2 : Un setiset avec une pièce dupliquée. D’après la définition ci-dessus, un setiset composé de n pièces identiques est équivalent à une « tuile auto-réplicante » ou rep-tile, dont les setisets sont donc une généralisation.

Les setisets utilisant n formes distinctes, comme celui de la figure 1, sont appelés parfaits. La figure 2 montre un exemple pour n = 4 qui est imparfait car deux des formes composantes sont identiques.

Les formes utilisées dans un setiset n’ont pas besoin d’être des régions connexes. Des pièces disjointes, composées de deux ou plusieurs îlots séparés, sont également admises. Ces pièces sont dites déconnectées ou faiblement connexes (lorsque les îlots ne se touchent qu’en un point), comme on le voit dans le setiset de la figure 3.

Le plus petit nombre possible de pièces dans un setiset est deux. La figure 4 présente une famille infinie de setisets d’ordre 2, chacun composé de deux triangles, P et Q. Comme illustré, ces derniers peuvent être articulés pour produire un triangle composé ayant la même forme que P ou Q, selon que la charnière est complètement ouverte ou fermée. Cet exemple particulier constitue ainsi une dissection articulée.

vignette|gauche|300px|Figure 3 : Un setiset présentant des pièces faiblement connexes. vignette|300px|Figure 4 : Une famille infinie de setisets d’ordre 2.

Inflation et déflation vignette|gauche|300px|Figure 5 : Un setiset d’ordre 4 utilisant des octominos. Deux étapes d’inflation sont montrées. Les propriétés des setisets impliquent que leurs pièces forment des pavages par substitution, ou tessellations dans lesquelles les prototiles peuvent être disséqués ou assemblés pour produire des copies réduites ou agrandies d’eux-mêmes.

Les actions successives d’agrandissement (inflation) ou de réduction (déflation) peuvent être répétées indéfiniment. De cette manière, les setisets peuvent engendrer des pavages non périodiques. Cependant, aucun des pavages non périodiques découverts jusqu’à présent ne satisfait à la définition d’un pavage apériodique, car les prototiles peuvent toujours être réarrangés pour former un pavage périodique. La figure 5 montre les deux premières étapes de l’inflation d’un setiset d’ordre 4 menant à un pavage non périodique.

Boucles vignette|300px|Figure 6 : Une boucle de longueur 2 utilisant des décominos. Outre les ensembles de tuiles auto-pavantes, que l’on peut interpréter comme des boucles de longueur 1, il existe des boucles plus longues — ou chaînes fermées d’ensembles — dans lesquelles chaque ensemble pave son successeur« Pépite géométrique cachée » par Jean-Paul Delahaye, sur Scilogs, 7 avril 2013..

La figure 6 montre une paire d’ensembles de décominos se pavant mutuellement, autrement dit une boucle de longueur 2. Sallows et Schotel ont effectué une recherche exhaustive des ensembles d’ordre 4 composés d’octominos. En plus de sept setisets ordinaires (c’est-à-dire des boucles de longueur 1), ils ont trouvé une grande variété de boucles de toutes les longueurs jusqu’à un maximum de 14. Le nombre total de boucles identifiées s’élève à près d’un million et demi. D’autres recherches restent à mener dans ce domaine, mais il semble probable que d’autres formes puissent aussi engendrer des bouclesSite consacré aux Self-Tiling Tile Sets.

Méthodes de construction À ce jour, deux méthodes ont été employées pour produire des setisets.

Dans le cas d’ensembles composés de formes telles que les polyominos, dont les pièces sont de taille entière, une recherche exhaustive par ordinateur est possible, tant que n, le nombre de pièces, reste raisonnable. Il est facile de montrer que n doit alors être un nombre carré. Les figures 1, 2, 3, 5 et 6 en sont des exemples obtenus par cette méthode.

Il existe par ailleurs une méthode consistant à disséquer plusieurs copies d’une même rep-tile de manière à obtenir des formes formant un setiset. Les figures 7 et 8 montrent des setisets produits de cette façon, dans lesquels chaque pièce est l’union de 2 et 3 rep-tiles respectivement.

Dans la figure 8, on peut voir comment les 9 pièces du haut pavent les 3 formes de rep-tiles du bas, tandis que chacune des 9 pièces est elle-même formée par l’union de 3 rep-tiles. Ainsi, chaque forme peut être pavée avec des répliques réduites de l’ensemble complet de 9 pièces.

vignette|gauche|300px|Figure 7 : Un setiset d’ordre 4 basé sur des rep-tiles. vignette|300px|Figure 8 : Un setiset d’ordre 9 basé sur des rep-tiles.

Références

Liens externes Site consacré aux Self-Tiling Tile Sets

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