La loi de Hartman–Watson est une famille de lois de probabilité absolument continues qui apparaît dans l’étude des fonctionnelles du mouvement brownien. Elle est nommée d’après Philip Hartman et Geoffrey S. Watson, qui ont découvert cette distribution en étudiant la relation entre le mouvement brownien sur la n-sphère et la loi de von Mises. Des contributions importantes, telles qu’une forme explicite de la densité sous forme d’intégrale et un lien avec les fonctionnelles exponentielles browniennes, ont été faites par Marc Yor.

En mathématiques financières, la loi est utilisée pour calculer le prix des options asiatiques avec le modèle de Black–Scholes.

Distribution de Hartman–Watson Définition Les lois de Hartman-Watson sont une famille de lois de probabilité , qui satisfont la relation suivante entre la transformée de Laplace et la fonction de Bessel modifiée de première espèce : pour , où désigne la fonction de Bessel modifiée définie par

Représentation explicite La densité non normalisée de la distribution de Hartman–Watson est

pour . Elle satisfait l’équation

La densité de la distribution de Hartman–Watson est définie sur et donnée par

ou explicitement pour .

Lien avec les fonctionnelles exponentielles browniennes Le résultat suivant dû à Yor établit un lien entre la densité non normalisée de Hartman–Watson et les fonctionnelles exponentielles du mouvement brownien.

Soit un mouvement brownien unidimensionnel démarrant en avec dérive . Soit la fonctionnelle brownienne suivante pour . Alors la loi de pour est donnée par

où et .

Notes et références

Catégorie:Loi de probabilité