vignette|300x300px|Point d'égal détour et point isopérimétrique obtenus par intersection des trois hyperboles de foyers deux sommets et passant par l'autre sommet. vignette|Le centre du cercle intérieur de Soddy de rayon vérifie :
, ,
.
Aller de à en passant par cause un détour de longueur .|304x304px En géométrie euclidienne, un point d'égal détour et un point isopérimétrique d'un triangle sont des points remarquables associés à ce triangle.
Définitions Plus précisément:
un point du plan d'un triangle est un point d'égal détour si lorsqu'on se déplace d'un sommet quelconque à un autre en passant par , la distance supplémentaire parcourue par rapport à la ligne droite est constante. Ceci se traduit par les relations : . Autrement dit, un point d'égal détour est un point commun aux trois branches d'hyperboles d'équations : . vignette|300x300px|Quand le cercle extérieur de Soddy de rayon englobe le triangle, son centre est un point isopérimétrique. On a :
, ,
. un point du plan d'un triangle est un point isopérimétrique si les trois triangles formés par et deux sommets du triangle ont même périmètre. Ceci se traduit par les relations : .
Autrement dit, un point isopérimétrique est un point commun aux trois branches d'hyperboles d'équations : .
Les trois hyperboles sont les hyperboles de foyers deux sommets du triangle et passant par l'autre sommet.
Le problème du point isopérimétrique et ses hyperboles associées ont été considérés par Émile Lemoine en 1890.
Théorèmes Le centre du cercle intérieur de Soddy du triangle est toujours un point d'égal détour. C'est l'un des centres du triangle, noté X(176) dans l'Encyclopédie des centres du triangle de Clark Kimberling.
Le centre du cercle extérieur de Soddy du triangle est soit un point isopérimétrique, soit un point d'égal détour. C'est un autre centre du triangle, noté X(175).
Le point est le seul point d'égal détour si le cercle extérieur de Soddy englobe le triangle ou dégénère en une droite, ce qui se traduit par la condition suivante : ,
où sont les angles de , , le demi-périmètre du triangle, le rayon du cercle circonscrit, celui du cercle inscrit, et l'aire.
La première vient de et des égalités similaires, et la deuxième de et de .
vignette|304x304px|Quand le cercle extérieur de Soddy, de rayon , a une courbure positive, son centre vérifie : ,,.
Aller de à en passant par cause un détour de longueur .
Si le cercle extérieur de Soddy est extérieur au triangle, son centre est le deuxième point d'égal détour.
Si le cercle extérieur de Soddy englobe le triangle (inégalité stricte ci-dessus), son centre est l'unique point isopérimétrique.
Propriétés
Dans tous les cas La distance supplémentaire parcourue à cause du détour provoqué par le passage par le point est égale au diamètre du cercle de Soddy intérieur (voir deuxième figure).
Si est le rayon de ce cercle, on a : et de même .
On a vignette|Lorsque le sommet est dans la zone beige (), le triangle possède deux points d'égal détour. La courbe est de degré 12Voir une équation de cette courbe à la fin de cette discussion sur les-mathematiques.net..
D'après le théorème de Descartes, où ; alors a été vu ci-dessus, et , d'où le résultat.
La condition ci-dessus équivaut au fait que le rayon du cercle de Soddy extérieur soit négatif, ce qui signifie que ce cercle englobe les trois autres. vignette| Les points et le point de Gergonne sont alignés et forment une division harmonique : |300x300px
Cas où le cercle extérieur de Soddy englobe le triangle Dans ce cas, son centre est le point isopérimétrique et le périmètre commun des triangles formés est égal à son diamètre (voir la troisième figure).
Cas où le cercle extérieur de Soddy est extérieur au triangle Dans ce cas, son centre est le deuxième point d'égal détour et la distance supplémentaire parcourue à cause du détour est égale à son diamètre (voir la quatrième figure).
Autres propriétés Les points et , le centre du cercle inscrit et le point de Gergonne du triangle sont alignés et forment une division harmonique (voir la cinquième figure).
Les points et ont pour coordonnées barycentriques (+ pour , – pour ) :
et pour coordonnées trilinéaires :
Références
Liens externes
Catégorie:Centre du triangle