En analyse numérique la méthode de scission amont du terme d'advection (en anglais ou AUSM) est une méthode permettant d'estimer le terme d'advection dans les méthodes de différences finies et de volumes finis pour la résolution des équations de la mécanique des fluides numérique. Elle constitue une alternative aux méthodes analogues telle que la méthode de Godounov, les méthodes de Philip Roe ou de Stanley Osher et Fred Solomon ou les méthodes de Bram van Leer ou de Joseph Steger et Robert Warming.

Le principe du décentrage amont pour la résolution des équations d'Euler est dû à Richard Courant, Eugene Isaacson et Mina Rees. Sa justification est basée sur le principe physique que l'information est propagée par les caractéristiques. Mais la capture du choc par un schéma numérique est longtemps restée sans solution jusqu'aux travaux de Sergueï Godounov qui eut l'idée de calculer les flux d'interface de maillage en résolvant le problème de Riemann associé. Cette méthode est la fondation des méthodes modernes sur le sujet.

Analyse du problème

Décentrage amont On considère l'équation hyperbolique scalaire suivante :

On peut l'écrire sous forme non conservative :

Il s'agit d'une équation de conservation pour où est la vitesse d'advection, constante le long d'une caractéristique. On peut ainsi calculer la solution exacte en remontant depuis le point de l'espace-temps pour chercher le point d'intersection de la caractéristique en ce point avec la ligne de temps :

ne coïncidant pas en général avec un point du maillage une interpolation est nécessaire, par exemple une interpolation linéaire respectant la condition CFL:

D'où le schéma de Courant-Isaacson-Rees (CIR) décentré amont en différences finies (1952):

Cette méthode n'est pas capable de capturer une discontinuité (choc, ligne de contact). Pour obtenir un tel résultat, Peter Lax a donné en 1954 une condition nécessaire d'entropie qui garantit l'existence d'une solution faible du problème de Rankine-Hugoniot.

Capture d'une d'une continuité On prend pour exemple les équations d'Euler unidimensionnelles pour un gaz parfait :

La version volumes finis d'un solveur de cette équation s'écrit :

où est l'approximation de et le vecteur flux à l'interface .

En suivant le principe de décentrage, ce flux sera écrit comme une fonction des quantités des cellules voisines à droite et à gauche , par exemple :

Le calcul des états requiert la résolution d'un problème de Riemann. En l'absence de variables caractéristiques dans les équations on définit une variable jouant le rôle de caractéristique le long de laquelle la solution est constante. L'interface de cellule coïncide avec caractéristique et le flux numérique s'écrit : . Une telle solution n'est pas toujours possible, elle est coûteuse et sa précision remise en cause à chaque étape de l'intégration temporelle.

Méthodes flux difference splitting Un exemple de résolution approchée est celle de Roe. Dans cette méthode les flux sont scindés dans deux directions suivant les valeurs propres de la matrice jacobienne évaluées dans un certain état moyen :

D'où le flux :

Ce schéma représente des états amont et aval sont reliés par une simple discontinuité (choc ou discontinuité de contact) et ne respecte pas la condition d'entropie croissante : il peut conduire à une discontinuité de type « choc de détente » non physique.

Méthodes flux vector splitting Une autre approche, dans la logique de la méthode CIR, consiste à remonter les sources influençant le flux :

Cela suppose la connaissance (l'approximation) des matrices jacobiennes associées à et .

Parmi toutes les variantes proposées la méthode de van Leer est sans doute la plus efficace malgré les problèmes rencontrés pour le calcul des discontinuités de contact.

Méthode AUSM

Le problème rencontré ci-dessus est lié aux termes d'advection dans les équations. La solution consiste donc à traiter séparément ces termes et ceux correspondants à la propagation des ondes acoustiques par l'intermédiaire de la pression :

où est la vitesse du fluide, le débit massique et l'enthalpie totale.

On peut construire le flux numérique advectif de la façon suivante :

Le choix de est fondamental : il est obtenu en scindant le nombre de Mach amont ou aval : .

est la vitesse du son locale et un polynôme d'ordre choisi.

Pour le terme de pression on utilise le même schéma :

Divers choix sont possibles pour le calcul de , adaptés au type de problème : monophasique, multiphasique, supersonique, faible nombre de Mach (combustion).

Voir aussi

Références

Catégorie:Équations différentielles numériques Catégorie:Mécanique des fluides