En génie électrique, l'analyse nodale modifiée ou ANM (en anglais : Modified Nodal Analysis, MNA) est une extension de l'analyse nodale qui détermine non seulement les tensions aux nœuds du circuit (comme dans l'analyse nodale classique), mais aussi certains courants de branche. L'analyse nodale modifiée a été développée comme un formalisme permettant de pallier la difficulté de représenter les composants définis en tension dans l'analyse nodale (par exemple, les sources de tension commandées en tension). C'est l'un de ces formalismes. D'autres, comme la formulation en tableau creux, sont tout aussi généraux et reliés par des transformations matricielles.

Méthode

L'ANM utilise les équations constitutives de branche (ECB) des éléments, c'est-à-dire leurs caractéristiques tension - courant, ainsi que les lois de Kirchhoff. La méthode se déroule souvent en quatre étapes, mais elle peut être réduite à trois :

Étape 1

Écrire les équations de la loi des nœuds du circuit. À chaque nœud d'un circuit électrique, écrire les courants entrant et sortant du nœud. Attention cependant, dans la méthode ANM, le courant des sources de tension indépendantes est pris du « plus » vers le « moins » (voir Figure 1). Notez également que le membre de droite de chaque équation est toujours égal à zéro, de sorte que les courants de branche entrant dans le nœud reçoivent un signe négatif et ceux qui en sortent reçoivent un signe positif.

Étape 2

Utiliser les ECB exprimées en fonction des tensions aux nœuds du circuit pour éliminer autant de courants de branche que possible. Écrire les ECB en fonction des tensions aux nœuds permet d'économiser une étape. Si les ECB étaient écrites en fonction des tensions de branche, une étape supplémentaire, c'est-à-dire remplacer les tensions de branche par les tensions aux nœuds, serait nécessaire. Dans cet article, la lettre « e » est utilisée pour désigner les tensions aux nœuds, tandis que la lettre « v » est utilisée pour désigner les tensions de branche.

Étape 3

Enfin, écrire les équations non encore utilisées.

Exemple

La figure montre un circuit RC série et le tableau présente les ECB d'une résistance linéaire et d'un condensateur linéaire. Notez que dans le cas de la résistance, l'admittance , soit , est utilisée au lieu de . Nous procédons maintenant comme expliqué ci-dessus.

Élément Équation de branche Résistance Condensateur

Étape 1

Dans ce cas, il y a deux nœuds, et . Il y a également trois courants : , et .

Au nœud e1, la loi des nœuds donne :

et au nœud e2 :

Étape 2

Avec les ECB fournies dans le tableau et en observant que :

on obtient les équations suivantes :

Étape 3

Notez qu'à ce stade, il y a deux équations mais trois inconnues. L'équation manquante provient du fait que , et donc finalement nous avons trois équations et trois inconnues, ce qui conduit à un système linéaire résoluble.

Analyse nodale modifiée et équations différentielles algébriques

Si le vecteur est défini, alors les équations ci-dessus peuvent être mises sous la forme :

où :

, et .

Il s'agit d'une équation différentielle algébrique (EDA) linéaire, puisque est singulière. On peut démontrer qu'une telle EDA issue de l'analyse nodale modifiée aura un indice de différentiation inférieur ou égal à deux tant que seuls des composants RLC passifs sont utilisés. Lors de l'utilisation de composants actifs, tels que les amplificateurs opérationnels, l'indice de différentiation peut être arbitrairement élevé.

Analyse non lisse

Les EDA supposent des caractéristiques lisses pour les composants individuels ; par exemple, une diode peut être modélisée/représentée dans une ANM avec des EDA via l'équation de Shockley, mais on ne peut pas utiliser un modèle apparemment plus simple (plus idéal) où les régions de conduction directe et d'avalanche fortement exponentielles de la courbe sont simplement des lignes verticales droites. L'analyse de circuit (y compris l'ANM) avec ce dernier type d'équations est en fait plus complexe (qu'avec les EDA) et constitue le sujet de l'analyse des systèmes dynamiques non lisses (SDNL), qui repose sur la théorie des inclusions différentielles.

Notes et références

Bibliographie

Voir aussi Articles connexes Méthode des noeuds Lois de Kirchhoff Circuit électrique Équation différentielle algébrique Simulation de circuit électronique

Liens externes Modified Nodal Analysis - Description de l'algorithme DC dans la documentation technique de Qucs

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