En théorie quantique des champs, le développement en produits d'opérateurs est l'équivalent d'un axiome servant à définir le produit de champs comme une somme sur ces mêmes champs. Cet axiome est non perturbatif. La possibilité d'étendre ce résultat aux théories quantique des champs plus générale (et ainsi de résoudre nombre des difficultés de l'approche perturbative), demeure une question de recherche ouverte.

Dans les calculs pratiques, comme les amplitudes de diffusion, le développement en produits d'opérateurs est utilisé. Un exemple peut être, pour combiner les résultats des calculs perturbatifs et non perturbatifs dans les règles de la QCD.

Théorie quantique des champs euclidiennes en 2D En théorie euclidienne des champs en 2 dimension, le développement en produit d'opérateurs correspond à un développement en série de Laurent associé à deux opérateurs. Dans un tel développement, il existe un nombre fini de puissances négatives, en plus d'un nombre potentiellement infini de puissances positives.

Ce développement est une somme localement convergente. Plus précisément, si est un point, et et sont des champs d'opérateurs, alors il existe un voisinage ouvert de tel que pour tous

où les sont des opérateurs.

En théorie quantique des champs, l'intérêt se porte sur les observables physiques représentées par des opérateurs. Il s'agit de connaître le résultat de deux observations physiques effectuées en deux points. et .

Heuristiquement cela permet de réduire ce calcul avec une somme sur des opérateurs situé uniquement en . Algèbre de produit d'opérateurs Dans le cas générique, on dispose d'un ensemble de champs (ou d'opérateurs). qui sont supposées être évaluées sur une certaine algèbre. Par exemple, en fixant , les peut être considéré comme étant le sous-espace vectoriel engendré d'une certaine algèbre de Lie. En laissant libre de vivre sur une variété, le produit d'opérateurs est alors simplement un élément de l'anneau des fonctions. En général, de tels anneaux ne possèdent pas une structure suffisante pour formuler des énoncés significatifs ; on considère donc des axiomes supplémentaires pour renforcer le système.

L'algèbre produit d'opérateurs est une algèbre associative de la forme

En pratique, on exige généralement que les sommes soient analytiques à un rayon de convergence près. Typiquement, ce rayon est de Ainsi, l'anneau des fonctions peut être considéré comme l'anneau des polynomes.

La formule peut être considéré comme une exigence imposée à un anneau de fonctions. Imposer cette exigence aux champs d'une théorie des champs conforme est connu sous le nom de bootstrap conforme.

Références

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