En analyse numérique, et plus particulièrement en Arithmétique flottante , le 'théorème de Sterbenz énonce que pour deux entiers flottant proches, la soustraction machine est exacte. Il est nommé d'après Pat. H. Sterbenz qui publie une variante en 1974.
Le théorème de Sterbenz s'applique à la norme IEEE 754, la norme la plus utilisé en arithmétique flottante dans l'informatique.
Enoncé Soient,
un base le nombre de chiffres de la mantisse l'exposant minimal l'exposant maximal
Soit un ensemble de flottants. Soit de même signe tel que s'il sont positifs, et s'ils sont négatifs.
Alors,
Démonstration
Lien avec l'annulation catastrophique Le théorème de Sterbenz peut être cependant nuancé par la Annulation catastrophique :
Le théorème de Sterbenz explique que la soustraction est exacte en arithmétique flottante et donc que et exact. Cependant, si et sont des approximations de et de . Alors, donne un résultat inversement proportionnel au résultat espéré . Ainsi, si et sont très proches, l'erreur de la différence devient très grande et pourrait devenir une approximation même si la différence en machine est exacte.
Ainsi, le théorème de Sterbenz peut être résumé par : Si l'on prend deux nombres flottants proche leur différence machine est exacte, mais si l'on soustrait deux nombres arrondit en machine, leur différence peut être arrondi (et même devenir grande dans le cas de l'annulation catastrophique).
Bibliographie Pat. H. Sterbenz, Floating-Point Computation, Payot, 1974
References