En mécanique classique, l’angle de Hannay constitue l’équivalent mécanique de la phase géométrique en mécanique quantique, plus connue sous le nom de phase de Berry. Ce concept doit son nom à John Hannay, chercheur à l’Université de Bristol (Royaume-Uni), qui l’a introduit en 1985. Sa contribution majeure a été d’étendre les principes de la phase de Berry, formalisée en physique quantique, au domaine de la mécanique classique, ouvrant ainsi de nouvelles perspectives dans l’étude des systèmes dynamiques.

Pour illustrer ce principe, considérons un système unidimensionnel dont la dynamique est contrainte d’évoluer selon un cycle fermé, à l’instar d’un simple pendule oscillant à la pulsation ω. Supposons à présent qu’un paramètre externe, noté — caractérisé par une variation lente par rapport à la période propre du système — subisse une modulation adiabatique. Cette situation peut être illustrée par analogie avec la corde du pendule que l’on étirerait ou que l’on relâcherait progressivement.

Dans ce contexte, il est alors possible de décomposer son mouvement global en deux échelles temporelles distinctes : une oscillation rapide, associée à la dynamique intrinsèque du pendule, et une oscillation lente, reflétant l’influence du paramètre externe modulé. L’action de tirer sur la corde correspond à cette modulation lente, tandis que le balancement du pendule reflète l’oscillation rapide.

Lorsque l’on représente ce système dans l’espace des phases, sa trajectoire décrit la surface d'un tore, où chaque cycle rapide s’inscrit dans une section transversale du tore, tandis que la variation lente du paramètre engendre un déplacement le long de la circonférence principale de cette surface. C’est cette géométrie qui sous-tend l’émergence de l’angle de Hannay, en quantifiant le déphasage accumulé au cours d’un cycle complet de la modulation adiabatique.

Le théorème adiabatique de la mécanique classique énonce que la variable d’action, définie comme l’aire de l’espace des phases délimitée par la trajectoire périodique du système, demeure approximativement invariante sous l’effet d’une perturbation lente des paramètres externes. Ainsi, à l’issue d’une période de modulation adiabatique, l’oscillation rapide du système retrouve sa trajectoire initiale dans l’espace des phases.

Cependant, bien que la forme de l’orbite soit préservée, la phase associée à cette oscillation subit une variation cumulative au cours du temps. Cette modification de phase se décompose en deux contributions principales, correspondant à des ordres distincts dans le développement asymptotique du problème adiabatique. Si T désigne la période de l’oscillation, le premier ordre est l'angle dynamique, qui est vaut simplement . Cet angle dépend des détails précis du mouvement, et il est d'ordre . Le second ordre est l'angle de Hannay, qui, étonnamment, est indépendant des détails précis de . Il dépend de la trajectoire de mais pas de la vitesse à laquelle il parcourt la trajectoire. Il est d'ordre .

Mécanique hamiltonienne L'angle de Hannay est défini dans une représentation des coordonnées action-angle. Dans un système initialement invariant dans le temps, la variable d'action est une constante. Après l'introduction d'une perturbation périodique , la variable d'action devient un invariant adiabatique, et l'angle de Hannay est la variable angulaire correspondante. Elle peut être calculée selon l'intégrale de chemin qui représente une évolution dans laquelle la perturbation revient à sa valeur d'origine où et sont des variables canoniques de l'hamiltonien, et est la 2-forme symplectique hamiltonienne , exprimée par le théorème de Stokes.

Exemple

Le pendule de Foucault Le pendule de Foucault constitue l'exemple typique en mécanique classique mis en avant pour illustrer les propriétés de l'angle de Hannay. En général, ce système est étudié au moyen du formalisme des variables action-angle, offrant une description élégante de sa dynamique.

Rotation d'un corps rigide vignette|Dans le référentiel du corps rigide, la direction du moment cinétique suit l'une des courbes représentées ici. Elle revient périodiquement à sa direction initiale. Un corps rigide libre en rotation dans l'espace libre possède deux quantités conservées : l'énergie et le vecteur moment angulaire Vu du référentiel du corps rigide, la direction du moment angulaire se déplace, mais sa longueur est conservée. Après un certain temps , la direction du moment angulaire reviendrait à son point de départ.

Dans le référentiel inertiel, le corps a subi une rotation (puisque tous les éléments de SO(3) sont des rotations). Un résultat classique stipule que pendant le temps , le corps a pivoté d'un angle

où est l'angle solide balayé par la direction du moment angulaire vu de l'intérieur du référentiel du corps rigide.

Autres exemples Dans les systèmes présentant plusieurs degrés de liberté, l’angle de Hannay ne se limite pas nécessairement à une contribution purement géométrique sur la variable angulaire. Un exemple paradigmatique est donné par l’angle géométrique émergent dans un oscillateur harmonique anisotrope soumis à une modulation adiabatique de ses paramètres.

Un autre exemple est le volant d’inertie sans frottement, fixé à la surface d’un disque en rotation et dont l’axe n’est pas aligné avec la normale à cette surface. Après une rotation complète du disque, le volant subit une précession autour de son axe : ce phénomène constitue une illustration élémentaire du pendule de Foucault. Plus généralement, si le volant est contraint à se déplacer le long d’une courbe fermée tracée sur une surface courbe, tout en maintenant son axe perpendiculaire à la tangente locale, il accumule, après un tour complet, une rotation d’angle égal à l’intégrale de la courbure de Gauss sur la région délimitée par la trajectoire parcourue. Ce résultat s’inscrit dans le cadre plus large de la géométrie différentielle et des phases géométriques en mécanique classique. En d’autres termes, considérons une toupie symétrique massive évoluant dans l’espace libre et animée d’une rotation propre autour de son axe de symétrie, à la vitesse angulaire 𝜔. Supposons à présent que l’on contraigne cet axe à décrire une boucle fermée dans l’espace. Dans ces conditions, la composante axiale de la vitesse angulaire reste strictement constante (et non simplement adiabatique). Après un cycle complet, la toupie retrouve son orientation initiale, à l’exception d’une rotation cumulative d’angle total donné par 𝜔𝑇 + 𝜃, où :

𝑇 désigne la durée nécessaire pour parcourir la boucle, 𝜔𝑇 correspond au terme dynamique, lié à la rotation propre, 𝜃 représente l’angle solide balayé par l’axe de la toupie au cours de son déplacement, et s’identifie à l’angle de Hannay.

Ce résultat illustre la décomposition de la phase totale en une contribution dynamique et une contribution géométrique, caractéristique des systèmes classiques soumis à des contraintes adiabatiques.

Enfin, l'orbite de la Terre, perturbée périodiquement par l'orbite de Jupiter ou la transformation rotationnelle associée aux surfaces magnétiques d'un champ magnétique toroïdal à axe non planaire constituent d'autres exemples de contributions provenant de l'angle de Hannay.

Références

Références externes

Professeur John H. Hannay : Principaux faits saillants de la recherche . Département de physique, Université de Bristol.

Catégorie:Mécanique classique