En mathématiques, la formule de Clausen, découverte par Thomas Clausen, exprime le carré d'une fonction hypergéométrique gaussienne comme une fonction hypergéométrique généralisée. Elle établit l'égalité :
En particulier, elle donne des conditions pour qu'une fonction hypergéométrique soit positive.
La fonction hypergéométrique est parfois appelée « fonction hypergéométrique de Clausen ».
Démonstrations
On pose
Une démonstration classique repose sur le fait que et sont toutes deux solutions de l'équation différentielle du ordre :
Dès lors, par le théorème de Cauchy-Lipschitz, il suffit de vérifier l'égalité des conditions initiales pour établir l'égalité entre les deux fonctions. Or, on a en effet
Applications
Srinivasa Ramanujan a utilisé une variante de la formule de Clausen pour pour établir une de ses 17 égalités pour .
Elle permet également d'établir directement le développement en série entière du carré de la fonction arc sinus, en prenant :
Ce résultat peut être utilisé pour démontrer plusieurs inégalités, comme l'inégalité d'Askey-Gasper utilisée dans la démonstration du théorème de de Branges.
Références
Liens externes