L’indice de Szlenk d’un espace de Banach est un invariant ordinal qui mesure la complexité de la topologie faible sur la boule unité et qui est invariant par isomorphismes linéaires. Cette boule est compacte pour la topologie faible, ce qui permet de définir l’indice de Szlenk par un procédé de dérivation transfinie.
Il a été introduit par Wiesław Szlenk afin de montrer qu’il n’existe pas d’espace de Banach réflexif séparable universel pour la classe de tous les espaces de Banach réflexifs séparables. Indice de Szlenk Soit un espace de Banach séparable, et un sous-ensemble non vide et compact pour la topologie faible. Pour , on pose
où désigne le diamètre pour la norme. On définit par récurrence transfinie, pour tout ordinal dénombrable :
Enfin, l’indice de Szlenk de est défini par
Références
Catégorie:Espace de Banach