En géométrie algébrique, une variété abélienne semi-stable est une variété abélienne sur un corps global ou local, caractérisée par la manière dont elle se réduit aux nombres premiers du corps en question.
Soit une variété abélienne définie sur un corps avec anneau des entiers , considérons le modèle de Néron de , qui est un modèle « optimal au possible » de défini sur . Ce modèle peut être représenté comme schéma sur pour lequel la fibre générique - construite au moyen du morphisme - redonne . Comme le modèle de Néron est un schéma de groupe lisse, nous pouvons considérer , la composante connexe du modèle de Néron qui contient l'identité de la loi de groupe. Il s'agit d'un schéma de sous-groupe ouvert du modèle de Néron. Dans le cas d'un corps résiduel , est une variété de groupe sur , donc une extension d'une variété abélienne par un groupe linéaire. Si ce groupe linéaire est un tore algébrique, alors est une variété semi-abélienne, et alors possède une réduction semi-stable au nombre premier correspondant à . Si est un corps global, alors est semi-stable si elle admet une bonne réduction ou une réduction semi-stable à tous les nombres premiers.
Le théorème fondamental de réduction semi-stable d'Alexandre Grothendieck stipule que toute variété abélienne admet une réduction semi-stable sur une extension finie de .
Courbe elliptique semi-stable Une courbe elliptique semi-stable peut être décrite concrètement comme une courbe elliptique qui n'admet des mauvaises réductions que de type multiplicatifs. Soit une courbe elliptique définie sur le corps des nombres rationnels . Il est connu qu'il existe un ensemble fini et non-vide S de nombres premiers pour lesquels admet une mauvaise réduction modulo . Cela signifie que la courbe obtenue par réduction de au corps premier à éléments possède une singularité. En termes simples, la condition de réduction multiplicative revient à dire que le point singulier est un point double, et non un point de rebroussement (cusp). Déterminer si cette condition est vérifiée est calculable efficacement par l'algorithme de Tate. Par conséquent, pour un cas donné, il est possible de déterminer si la réduction est semi-stable, c'est-à-dire au pire une réduction multiplicative.
Le théorème de réduction semi-stable pour peut également être rendu explicite de la manière suivante: acquiert une réduction semi-stable sur l'extension de engendrée par les coordonnées des points d'ordre 12.
Références
Catégorie:Courbe elliptique