En mathématiques, la théorie de Galois de Grothendieck est une approche abstraite de la théorie de Galois, développée vers 1960 pour permettre l'étude du groupe fondamental en topologie algébrique, dans le cadre de la géométrie algébrique. Elle offre, dans le cadre classique de la théorie des corps, une perspective alternative à celle d'Emil Artin, fondée sur l'algèbre linéaire, devenue la norme à partir des années 1930.
L'approche d'Alexandre Grothendieck s'intéresse aux propriétés catégoriques caractérisant les catégories de G-ensembles finis, étant donné un groupe profini G. Par exemple, G peut être le groupe noté (voir entier profini ), qui est la limite inverse des groupes additifs cycliques — ou, de manière équivalente, la complétion du groupe cyclique infini pour la topologie des sous-groupes d'indice fini. Un G -ensemble fini est alors un ensemble fini X sur lequel G agit par l'intermédiaire d'un groupe cyclique fini quotient, de sorte qu'il est spécifié en donnant une permutation de X.
Dans l'exemple ci-dessus, un lien avec la théorie galoisienne classique peut être établi en considérant comme le groupe de Galois profini Gal( F / F ) de la clôture algébrique F d'un corps fini quelconque F, sur F. Autrement dit, les automorphismes de F fixant F sont décrits par la limite inverse, lorsque l'on considère des corps de décomposition finis de plus en plus grands sur F. Le lien avec la géométrie apparaît alors lorsqu'on considère les espaces de recouvrement du disque unité dans le plan complexe avec l'origine en moins: le recouvrement fini réalisé par l'application zⁿ du disque, vue au moyen d'une variable complexe z, correspond alors au sous-groupe du groupe fondamental du disque épointé.
La théorie de Grothendieck, publiée dans SGA1, montre comment reconstruire la catégorie des G -ensembles à partir d'un foncteur fibre , qui, dans le cadre géométrique, prend pour ensemble la fibre d'un revêtement au-dessus d'un point de base fixe. Concrètement, il existe un isomorphisme du type
,
ce dernier étant le groupe des automorphismes (équivalences naturelles) de . On donne alors une classification abstraite des catégories avec un foncteur vers la catégorie des ensembles, grâce à laquelle on peut reconnaître des catégories de G-ensembles pour G profini.
Pour comprendre comment cela s'applique aux corps de manière générale, il faut étudier le produit tensoriel de corps . En théorie des topos, cela fait partie de l'étude des topos atomiques.
Voir aussi
formalisme tannakien foncteur de fibres géométrie anabélienne
Références
(This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
Dubuc, E.J; de la Vega, C.S. (2000). "On the Galois theory of Grothendieck". arXiv:math/0009145
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