En théorie des nombres, le conducteur d'Artin est un nombre ou un idéal qui est associé à un caractère d'un groupe de Galois d'un corps local ou global. Cette notion fût introduite par Emil Artin en tant qu'expression apparaissant dans l'équation fonctionnelle d'une fonction L d'Artin.

Conducteurs d'Artin locaux Supposons que est une extension galoisienne finie du corps local , avec groupe de Galois . Si est un caractère de , alors le conducteur d'Artin local est le nombre

où est le -ème groupe de ramification (numérotation inférieure), d'ordre , et où est la valeur moyenne de sur . Observons que conducteur local est un entier. Heuristiquement, le conducteur d'Artin mesure à quel point l'action des groupes de ramification d'ordre supérieur est non-trivial. En particulier, si est non ramifié, alors son conducteur d'Artin est nul. De cette manière, si est non ramifié sur , alors tous les conducteurs d'Artin sont zéro.

L' invariant sauvage ou le conducteur de Swan du caractère est

en d'autres termes, la somme des termes d'ordre supérieur avec .

Conducteurs d'Artin globaux Le conducteur d'Artin global d'une représentation du groupe de Galois d'une extension finie de corps globaux est un idéal de , défini comme étant

où le produit est pris sur les premiers de , et est le conducteur local d'Artin de la restriction de au groupe de décomposition d'un nombre premier de au-dessus de . Puisque le conducteur d'Artin local est nul pour les nombres premiers non ramifiés, le produit ci-dessus peut n'être calculé que pour les nombres premiers qui se ramifient dans .

Représentation d'Artin et caractère d'Artin Soit une extension galoisienne finie d'un corps local , avec groupe de Galois . Le caractère d'Artin de est le caractère

et la représentation d'Artin est la représentation linéaire complexe de G avec ce caractère. A ce propos, Weil (1946) a demandé si l'on pouvait trouver une construction directe de la représentation d'Artin. Serre (1960) a montré que la représentation d'Artin peut être réalisée sur le corps local , pour tout premier non égal à la caractéristique résiduelle . Fontaine (1971) a montré ensuite que cette propriété peut être réalisée sur l'anneau correspondant des vecteurs de Witt. Elle ne peut en général être réalisée ni sur les rationnels ni sur le corps local , ce qui suggère qu’il n’existe pas de moyen simple de construire explicitement la représentation d’Artin.

Représentation de Swan Le caractère de Swan sw G est donné par

où rg est le caractère de la représentation régulière et 1 est le caractère de la représentation triviale. Le caractère de Swan est le caractère d'une représentation de G. Swan (1963) a montré qu'il existe une unique représentation projective de G sur les entiers l -adiques avec le caractère de Swan.

Applications Le conducteur d'Artin apparaît dans la formule conducteur-discriminant pour le discriminant d'un corps global.

Le niveau optimal dans la conjecture de modularité de Serre est exprimé en termes du conducteur d'Artin.

Le conducteur d'Artin apparaît dans l'équation fonctionnelle de la fonction L d'Artin.

Les représentations d'Artin et de Swan sont utilisées pour définir le conducteur d'une courbe elliptique ou d'une variété abélienne.

Notes et références

Bibliographie

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