En théorie axiomatique des ensembles, le lemme de Rasiowa–Sikorski, nommé d'après Helena Rasiowa et Roman Sikorski, est l'un des résultats les plus fondamentaux mis en œuvre dans la technique du forcing. Dans le cadre du forcing, une partie E d'un ensemble ordonné (P, ≤) est dite dense dans P si, pour tout p ∈ P, il existe e ∈ E tel que e ≤ p. Si D est un ensemble de parties denses de P, alors un filtre F de P est dit D-générique si
F ∩ E ≠ ∅ pour tout E ∈ D.
On peut alors énoncer le lemme de Rasiowa–Sikorski :
Soit (P, ≤) un ensemble ordonné et p ∈ P. Si D est un ensemble dénombrable de parties denses de P, alors il existe un filtre D-générique F dans P tel que p ∈ F.
Démonstration Soit p ∈ P. Comme D est dénombrable, on peut écrire D = { Di | i ∈ N }, c'est-à-dire qu'on peut énumérer les parties denses de P sous la forme D1, D2, … ; par densité, il existe p1 ≤ p tel que p1 ∈ D1. En itérant ce procédé, on obtient … ≤ p2 ≤ p1 ≤ p avec pi ∈ Di. Alors G = { q ∈ P | ∃i, q ≥ pi } est un filtre D-générique.
Le lemme de Rasiowa–Sikorski peut être vu comme l'équivalent d'une forme affaiblie de l'axiome de Martin. Plus précisément, il est équivalent à MA(ℵ0) et à l'axiome du choix dénombrable.
Exemples
Pour (P, ≤) = (Func(X, Y), ⊇), l'ensemble ordonné des fonctions partielles de X dans Y, ordonné en sens inverse par l'inclusion, on pose Dx = { s ∈ P | x ∈ dom(s) }. Soit D = { Dx | x ∈ X }. Si X est dénombrable, le lemme de Rasiowa–Sikorski fournit un filtre D-générique F, et donc une fonction F : X → Y. En conservant la notation utilisée pour les filtres D-génériques, { H ∪ G0 | PijPt } forme un filtre H-générique. Si D est non dénombrable, mais de cardinalité strictement inférieure à 2ℵ0 et que l'ensemble ordonné vérifie la condition de chaîne dénombrable, on peut recourir à l'axiome de Martin. Cependant, l'axiome de Martin n'est pas démontrable dans ZFC.
Références
Bibliographie
Liens externes
L'article de Timothy Chow « A Beginner's Guide to Forcing » constitue une bonne introduction aux concepts et aux idées qui sous-tendent le forcing.
Catégorie:Théorie des ensembles