vignette| Médianes d'un tétraèdre se croisant en un point (son centre de gravité), tel que Le théorème de Commandino, nommé d'après Federico Commandino (1509-1575), établit que les quatre médianes d'un tétraèdre sont concourantes en un même point S, qui les divise dans un rapport de 3:1. Dans un tétraèdre, une médiane est un segment de droite qui relie un sommet au centre de gravité de la face opposée – c’est-à-dire au centre de gravité du triangle opposé. Le point S est également le centre de gravité du tétraèdre.
Histoire Le théorème est attribué à Commandino, qui affirme, dans son ouvrage (Le Centre de gravité des solides, 1565), que les quatre médianes du tétraèdre sont concourantes. Cependant, selon l'érudit du Guillaume Libri, Francesco Maurolico (1494-1575) affirme avoir trouvé ce résultat plus tôt. Libri pense néanmoins que Léonard de Vinci le connaissait encore avant, et qu'il semble l'avoir utilisé dans son œuvre. Julian Coolidge partage cette affirmation, mais précise qu'il n'a trouvé aucune description explicite ni aucun traitement mathématique du théorème dans les œuvres de Léonard de Vinci. D'autres chercheurs ont émis l'hypothèse que ce résultat était peut-être déjà connu des mathématiciens grecs de l'Antiquité.
Généralisations Le théorème de Commandino peut être étendu de façon analogue directe pour les simplexes de toute dimension:
Soit un -simplexe de dimension dans et soient ses sommets. De plus, soient , les médianes de , les droites reliant chaque sommet avec le centre de gravité du -simplexe opposé . Ces droites se croisent alors en un même point , dans un rapport de .
Généralités complètes L'analogie précédente peut être déduite du résultat plus général suivant, qui est analogue à la façon dont fonctionnent les leviers en physique :
Soient et deux entiers positifs, tels que dans un - espace vectoriel , points différents deux à deux sont donnés. Soient le centre de gravité des points , et le centre de gravité des points et soit le centre de gravité de tous ces points. Ainsi, on a
En particulier, le centre de gravité se trouve sur la droite et le divise dans un rapport de .
Théorème de Reusch Le théorème précédent a d'autres conséquences intéressantes que la généralisation mentionnée supra du théorème de Commandino. Il peut être utilisé pour démontrer le théorème suivant concernant le centre de gravité d'un tétraèdre, décrit pour la première fois dans les Mathematische Unterhaltungen par le physicien allemand :
Puisqu'un tétraèdre possède six arêtes dans trois paires opposées, on obtient le corollaire suivant :
Théorème de Varignon Un cas particulier du théorème de Reusch où les quatre sommets d'un tétraèdre sont coplanaires et se trouvent sur un seul plan, dégénérant ainsi en un quadrilatère, le théorème de Varignon, du nom de Pierre Varignon, énonce ce qui suit :
Références
Liens externes
A Couple of Nice Extensions of the Median Properties
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