En mathématiques, plus précisément dans les domaines de l'algèbre abstraite et de la cohomologie des groupes, le lemme de Shapiro, également connu sous le nom de lemme d'Eckmann-Shapiro, relie les extensions de modules sur un anneau aux extensions sur un autre, en particulier l'anneau de groupe d'un groupe et d'un sous-groupe. Elle établit ainsi un lien entre les groupes de cohomologie d'un groupe et ceux d'un sous-groupe. Le lemme de Shapiro porte le nom d'Arnold S. Shapiro, qui l'a démontré en 1961., mais Beno Eckmann l'avait découvert plus tôt, dès 1953..

Énoncé pour les anneaux Soit R → S un morphisme d'anneaux, de sorte que S peut être considéré comme un R-module à gauche et à droite. Soit M un S-module à gauche et N un R-module à gauche. Par restriction des scalaires, M est également un R-module à gauche.

Si S est projectif en tant que R-module à droite, alors

Si S est projectif en tant que R-module à gauche, alors :

Voir . Les hypothèses de projectivité peuvent être affaiblies en conditions portant sur l'annulation de certains groupes Tor ou Ext : on trouvera plus de détails dans .

Énoncé pour les anneaux de groupe Soit H un sous-groupe d'indice fini dans un groupe G et soit R un anneau. Alors l'anneau de groupe R[G] est projectif de type fini comme module à gauche et à droite sur R[H] donc le théorème précédent s'applique directement. Soit M une représentation de dimension finie de G et N une représentation de dimension finie de H. Dans ce cas, le module S⊗RN s'identifie à la représentation induite de H à G de N et RM à la représentation restreinte de G à H de M. On a alors

Lorsque n est nul, la propriété est connue sous le nom de réciprocité de Frobenius pour les modules complètement réductibles, et de réciprocité de Nakayama en général. Voir , où l'on trouve également ces versions supérieures de la décomposition de Mackey.

Énoncé pour la cohomologie des groupes En choisissant pour M le module trivial, on obtient la version la plus familière du lemme de Shapiro. Soit H un sous-groupe de G et N une représentation de H. En introduisant la représentation induite de H à G de N, à l'aide du produit tensoriel, et en notant l'homologie de groupe, il vient

De même, si est la représentation coinduite de H à G de N définie avec le foncteur Hom, et si désigne la cohomologie des groupes, on a

Lorsque H est d'indice fini dans G, les représentations induites et coinduites coïncident – il est naturel de les noter – et le lemme est valide à la fois pour l'homologie et la cohomologie.

Pour plus de détails, voir .

Articles connexes

Notes et références

Bibliographie

Catégorie:Théorie des représentations Catégorie:Algèbre homologique Catégorie:Théorème d'algèbre