Modèle du solide indéformable

Le modèle du solide indéformable est un modèle de solide fréquemment utilisé en mécanique des systèmes de points matériels. Il s'agit d'une idéalisation de la notion usuelle de corps (à l'état) solide, considéré comme absolument rigide, et négligeant toute déformation.

Première approche

Le solide indéformable est un modèle utilisé en mécanique pour décrire le comportement d'un corps (objet, pièce).

Comme son nom l'indique, on considère qu'au cours du temps la distance entre deux points donnés ne varie pas. Cela signifie que l'on néglige les phénomènes de déformation élastique et a fortiori plastique, et que le solide ne présente pas de rupture.

Ce modèle est très utilisé en cinématique et en dynamique, où il constitue la base de l'étude des mouvements du solide. Par rapport au modèle du point matériel, il permet de prendre en compte la rotation propre de l'objet par rapport au référentiel.

Principe d'équiprojectivité des vitesses

Une des principales conséquence de cette indéformabilité est l'équiprojectivité du champ des vecteurs vitesse des points du solide. Ceci est la base de la notion de torseur cinématique, et de la notion de centre instantané de rotation.

Limites du modèle

vignette|Dans la pratique, l'accélération produit une déformation du solide proportionnelle à l'effort dynamique.

Le modèle devient inadapté lorsque les efforts mis en jeu (en vertu du principe fondamental de la dynamique) deviennent importants. On peut alors constater un écart notable entre le comportement prédit par la théorie du solide indéformable et le comportement constaté. Par exemple, la déformation élastique d'une pièce provoque un déphasage entre la sollicitation et la réponse, le point de contact d'une pièce ne se trouve pas exactement là où l'on s'y attend et modifie donc les efforts mis en jeu, on constate un effet rebond, voire une dégradation subie par certaines pièces.

En particulier, le modèle du solide indéformable est inadapté à l'étude des chocs, des à-coups et des vibrations (par exemple de l'acoustique).

Par ailleurs, certains systèmes sont conçus pour subir une déformation importante. C'est par exemple le cas des ressorts, des membranes et des soufflets. Le modèle ne permet évidemment pas d'étudier ces systèmes.

Notons également que la notion de corps rigide est en général incompatible avec la relativité restreinte. En particulier, la rigidité ne peut pas toujours être maintenue en relativité lors de mouvements variés, incluant des rotations propres et des accélérations. Le modèle du solide indéformable n'est donc valable que lorsque les vitesses mises en jeu sont très inférieures à la vitesse de la lumière.

Définition

Un solide est un ensemble de points matériels dont les distances mutuelles restent constantes au cours du tempsVoir, par exemple, José-Philippe Pérez, Mécanique: fondements et applications, éd. 2001, Dunod - Masson sciences..

Il convient de noter que cette définition est très restrictive et ne doit pas être confondue avec celle « d'état solide », qui indique un faible libre parcours moyen des constituants de la matière (inférieur à la distance inter-atomique). Un solide au sens physico-chimique des mouvements d'atomes ou de molécules sans déformation macroscopique (agitation thermique, diffusion). Par ailleurs, on continue à parler de solide même lorsque l'objet subit des déformations notables (élastique, plastique, écoulement visqueux).

Modèles discret et continu

Comme pour les systèmes matériels en général (déformables ou non), on peut adopter soit un mode de description discontinu (ou discret), ou encore continu.

Modèle discret

Le modèle le plus facile à utiliser est de considérer le solide (ou le système matériel) comme un ensemble d'un grand nombre de points matériels de masses . On définit alors la masse totale du solide par , étant dans le cadre d'un modèle classique avec additivité des masses. Toutes les autres grandeurs physiques extensives sont formellement définies par des sommes discrètes : par exemple, la quantité de mouvementAussi appelée résultante cinétique. s'exprime par

Modèle continu

La matière possède une structure microscopique discrète, étant constituée d'atomes, eux-mêmes ayant d'ailleurs une structure interneVoir aussi Particules élémentaires.. Toutefois si l'on considère un élément de volume « mésoscopique » du solideC'est-à-dire de dimensions très inférieures à celle de l'échelle « humaine » (≈ ), mais très supérieure au rayon atomique (≈ )., celui-ci est susceptible de contenir un très grand nombre d'atomes. Par exemple un cube de fer de 1 μm de côté (très petit à l'échelle macroscopique) contient près de . On peut ainsi traiter le solide comme un milieu continu. Plus précisément, un milieu sera dit continu si le nombre de particules contenues dans un volume élémentaire est suffisamment grand pour que l'on puisse négliger ses fluctuations. Ce mode de description n'est pas spécifique aux corps « solides » mais convient également très bien pour les fluides.

Dans l'hypothèse des milieux continus, on peut décrire le solide (ou également un système matériel comme un fluide) non par un ensemble discret de points matériels, mais par une distribution volumique de masse , définie en tout point du domaine de l'espace occupé par le solide.

Plus précisément on peut définir la masse volumique en considérant un élément de volume centré au point , de masse , par Voir par exemple, malgré l'ancienneté de la référence, Cagnac, Ramis,Commeau, Nouveau cours de mathématiques spéciales - Tome 4, Masson, Paris, 1963 - Notamment le chap. XVI., la limite devant s'entendre « avec restant important devant les dimensions atomiques ». Une définition similaire est utilisée pour définir la densité de charge électrique ou la densité de courant.

Remarque: le solide est dit homogène si est constant pour tout point du solide (ou du système).

La plupart des éléments cinétiques des systèmes matériels (et donc, des solides) peuvent être définis en remplaçant la sommation sur les indices des points matériels du modèle discret par une intégration volumique sur le domaine , par exemple : masse du solide : ; centre de masse : : ce point qui correspond mathématiquement à une généralisation de la notion de barycentre est confondu avec le centre d'inertie, qui est notion physique (on utilise indifféremment centre de masse ou d'inertie en pratique) ; quantité de mouvement : ; moment cinétique en : ; énergie cinétique .

Pour un solide, le modèle continu est le plus souvent considéré comme plus lourd à utiliser, aussi lui préfère-t-on souvent le modèle discret, notamment dans les démonstrations des divers théorèmes. Néanmoins, il permet de définir le plus rigoureusement les notions de symétrie mécanique et d'effectuer les calculs de moments d'inertie, peu aisés à effectuer par sommation.

Symétrie mécanique

Il est évident de par la définition d'un solide mécanique que celui-ci possède une forme géométrique propre - il s'agit au demeurant d'une caractéristique macroscopique élémentaire de l'état solide. Il est fréquent de considérer des solides de formes géométriques simples (e.g. sphère, cube, cylindre...) présentant des éléments de symétrie géométrique (e.g. centre, axe ou plan de symétrie) donnés. Toutefois la répartition des masses au sein d'un tel solide ne possède pas nécessairement les mêmes éléments de symétrie.

On parle de symétrie mécanique associée une symétrie géométrique si pour tout couple de points (M, M') du solide homologues dans la symétrie géométrique on a ρ(M)=ρ(M'). L'existence pour un solide de symétries mécaniques simplifie grandement la détermination de la position du centre d'inertie G, des axes principaux d'inertie, les calculs des moments d'inertie.

Mouvements d'un solide L'étude générale du mouvement d'un solide est complexe dans le cas général, bien que la condition de rigidité du modèle simplifie grandement le problème. en effet, au lieu d'une infinité (ou d'un très grand nombre) de degrés de liberté un solide possède seulement 6 degrés de liberté : 3 correspondant aux coordonnées de son centre d'inertie ; et 3 angles (angles d'Euler par exemple) permettant de décrire sa rotation "propre" dans le référentiel barycentrique. Il est intéressant de considérer quelques cas particuliers.

Champ des vitesses d'un solide Pour deux points quelconques et d'un solide. Par hypothèse on a = cte, soit : , et donc : .

Il s'agit donc d'un champ équiprojectif, c'est-à-dire d'un torseur. Par suite : (1), où est le vecteur rotation du solide dans le référentiel d'étude (R) (ou le référentiel barycentrique (R*)associé, car les deux sont en translation). Ce vecteur a pour valeur la vitesse angulaire instantanée du solide, pour direction l'axe instantané de rotation du solidePour le champ des vitesses d'un fluide, il est possible d'obtenir localement une expression formellement similaire, où se rajoute un terme de dilatation-déformation - Voir Pérez, op. cit., chap. 29.

Cette relation peut être écrite en faisant intervenir le centre d'inertie du solide (confondu avec le centre de masse ) : en effet il est évident que pour tout point du solide que = cte, donc la formule (1) reste applicable, d'où: , ce qui permet de montrerVoir aussi Landau et Lifchitz, Physique théorique, tome1: Mécanique, française, Ellipses, 1994 que le mouvement d'un point quelconque d'un solide se décompose en un mouvement « de translation » et un autre de « rotation propre »Plus précisément dans le référentiel barycentrique.

Mouvement de translation d'un solide

Définition et exemple

Par définition, un solide (S) est en mouvement de translation dans un référentiel (R) si au cours du mouvement le segment de droite reliant deux points quelconques A et B de (S) garde une direction constante dans l'espace au cours du temps. On peut également dire que lors du mouvement de translation d'un solide dans (R), tout segment reliant deux points quelconques A et B de (S) se déplace parallèlement à lui-même. Ce type de mouvement, très simple, correspond à l'idée d'un déplacement "en bloc" d'un solide. Il est fréquemment observé dans la vie courante, par exemple: mouvement d'une cabine d'ascenseur: il s'agit d'un mouvement de translation rectiligne dans un référentiel lié à l'immeuble, la cabine se déplaçant en bloc suivant une direction verticale ; mouvement d'une nacelle de grande roue: chaque nacelle est fixée à la roue par un axe autour duquel elle peut librement tourner, par suite lors du mouvement dans le référentiel du bâti de la grande roue, la nacelle garde une orientation fixe dans l'espace. Il s'agit d'un mouvement de translation circulaire.

Ces deux exemples montrent que la notion de mouvement de translation d'un solide ne doit pas être confondue avec celle de mouvement rectiligne.

Champ des vitesses et description du mouvement d'un solide en translation

Il résulte de la définition qu'un solide en translation dans un référentiel (R) est dépourvu de rotation propre, par suite: et le champ des vitesses du solide en translation est très simple: , pour tout point M du solide (S).

Par suite dans le cas d'un solide en translation le mouvement du solide peut être décrit par celui de son centre d'inertie G, tous les autres points M du solide ayant la même trajectoire à un déplacement près. Les éléments cinétiques associées au solide en translation sont également d'expressions très simples, en effet puisque on a respectivement pour l'énergie et le moment cinétique d'un solide en translation (on utilise les théorèmes de König, valables pour tout système matériel) : énergie cinétique du solide : , c'est-à-dire l'énergie cinétique totale d'un solide en translation est celle de son centre d'inertie affectée de la masse totale du solide ; moment cinétique du solide par rapport à un point O : , là encore le moment cinétique total se confond avec celui du point matériel G affecté de la masse totale du solide.