Le siteswap est une notation de jonglerie qui décrit le rythme des lancers et donc la trajectoire des objets dans l’espace. Elle s’est imposée comme langage de référence pour décrire et communiquer les séquences de jonglerie intéressantes en solo et à plusieurs jongleurs. La notation consiste en une suite de chiffres codant chaque lancer le nombre de temps s’écoulant jusqu’à la relance du même objet. Ceci permet de modéliser et d’inventer une infinité de séquences, quel que soit le nombre d’objets ou de sites de lancer (de mains par exemple, mais pas uniquement). Malgré sa rudesse mathématique décriée par certains jongleurs, le siteswap a largement contribué à enrichir le répertoire des figures de jonglerie.
Le siteswap est particulièrement adapté aux techniques de lancer : balles, massues et anneaux principalement. Néanmoins, les lancers peuvent aussi bien être interprétés comme un blocage en contact sur le corps, un roulement sur le sol, un ou plusieurs rebonds sur une surface, etc. Le siteswap peut également être adapté pour décrire des techniques de diabolo.
Historique de la notation La notation la plus simple, souvent nommée vanilla siteswap dans les pays anglo-saxons, décrit le mode de jonglerie asynchrone à deux mains. Elle est inventée par trois groupes indépendants. Le premier en 1981 à Santa Cruz est Paul Klimek avec son Quantic Jugglingou Quantum Juggling.. En 1985 à Cambridge en Angleterre, Mike Day, Colin Wright et Adam Chalcraft inventent une notation similaire qu’ils nomment notation de Cambridge. À la même époque, Bruce Tiemann au California Institute of Technology en Californie, qui n'avait jamais entendu parler de ces systèmes de notation, invente une méthode pour trouver les figures qu'il nomme « site swaps » car sa méthode pour les générer est basée sur le fait d’échanger « tels objets à tels endroits [sites de lancer] dans le temps et l’espace ».
La liste de diffusion rec.juggling en activité depuis sur UsenetStatistiques de rec.juggling et les débuts d’Internet permirent la diffusion rapide de ces notions parmi la communauté des jongleurs scientifiques. rec.juggling reste aujourd’hui la source d’information la plus complète sur le siteswap : premiers diagrammes états-transitions, annonce et souvent publication de l’essentiel des travaux mathématiques liés à la notation ainsi que de nombreux conseils pour les jongleurs dans la pratique.
De simples conventions typographiques permettent d’adapter le siteswap ordinaire d'origine pour décrire le passing, le mode de jonglerie synchrone ainsi que les lancers multiplexs. En 1991 la notation multi-mains d’Ed Cartsen (multi-hand notation ou mhn) synthétise la plupart des notions connues car elle permet de décrire l’asynchrone avec la même notation que le synchrone quel que soit le nombre de sites de lancer. Depuis les années 1990, Jack Boyce aide au développement des notations synchrone, multiplex et passing grâce à ses recherches et son logiciel de simulation de jonglage JugglingLab. Ben Beever (1976-2015), professeur de mathématique anglais, est le premier à utiliser l’astérisque (*) pour noter les figures synchrones dans son livre Siteswap Ben’s Guide to Juggling Pattern de 1999.
La notation multimain sert par exemple dès la fin des années 1990 à la troupe Gandini Juggling pour réaliser des séquences siteswaps en passing avec un nombre impair de mains ou encore vers 2002 aux diabolistes dont la ficelle peut servir de site de lancer (mhn avec un seul site de lancer). En 2005, la mhn est toujours suffisante pour décrire le mode de jonglage polyrythmique.
Les bases : le siteswap asynchrone La forme la plus commune du siteswap, appelée vanilla siteswap dans les pays anglo-saxons, décrit les séquences où les lancers sont asynchrones (alternent entre la main gauche et la main droite) et où une seule balle est lancée à la fois. Si l’on filmait en plongée un jongleur lançant successivement chaque balle en alternant entre la main gauche et la main droite tandis qu’il avance, on pourrait voir quelque chose qui ressemblerait au diagramme de droite, diagramme que l’on appelle parfois diagramme d’espace temps par analogie avec son équivalent en physique.
Pour décrire la séquence, on détermine pour chaque étape combien de temps plus tard l’objet sera relancé. Par exemple, si l’on considère le diagramme de droite, au premier lancer, la balle violette est lancée par la main droite, puis la balle bleue, puis la verte, à nouveau la verte, à nouveau la bleue et enfin la balle violette est rattrapée et relancée par la main gauche au cinquième temps : cela confère au premier lancer la valeur de 5. En répétant l’opération pour chaque temps, on obtient une séquence de nombres qui dénote pour chaque lancer le nombre de temps écoulés jusqu’à la relance. Étant donné que les lancers alternent de main en main, les nombres impairs désignent des lancers d’une main à l’autre (lancers croisés), tandis que les nombres pairs retombent dans la main qui les a lancés (lancers décroisés). Un 3 correspond au nombre de temps d’un lancer de cascade à trois objets. Un 4 correspond à celui d’une fontaine à 4 objets, etc.
Le nombre associé à chaque lancer permet de déterminer le nombre de temps que la balle passera en l’air et ainsi d’évaluer la hauteur relative du lancer. C’est pourquoi beaucoup interprètent les nombres comme des hauteurs :
le 3 correspond à la hauteur des lancers lorsque l’on jongle à 3 balles (croisé) le 4 correspond à la hauteur des lancers lorsque l’on jongle à 4 balles (non croisé) le 5 correspond à la hauteur des lancers lorsque l’on jongle à 5 balles (croisé)
et ainsi de suite…
Ce raccourci, bien que techniquement incorrect, est particulièrement utile dans la pratique puisqu’il permet de produire du premier coup la séquence sans avoir à penser à l’ensemble des permutations mises en jeu. Ce raccourci ne vaut que pour les techniques de jonglerie strictement aériennes et ne décrit en aucun cas une hauteur absolue (celle-ci dépendant du tempo).
On note trois lancers particuliers :
le 0 correspond à un temps où la main est vide et en attente ; le 1 correspond à un objet rapidement passé à l’autre main pour être aussitôt relancé (la passe pouvant se faire en lançant la balle à proprement parler ou non) ; le 2 correspond généralement à un objet maintenu dans la main, cependant il est possible de l’exprimer par un lancer décroisé Les lancers supérieurs à 9 sont notés par des lettres, en commençant par A : 8, 9, A, B, C… (A = 10, B = 11… comme pour une base hexadécimale).
Chaque séquence est amenée à se répéter après un certain nombre de lancers appelé période. La séquence est ainsi notée par le plus petit segment représentatif et non-répétitif : la séquence de droite est ainsi notée et a une période de 11. Quand la période est impaire (comme dans cet exemple), la séquence sera dite symétrique parce qu’elle sera répétée à partir de l’autre main. Les séquences de période paire sont dites asymétriques, chaque main répétant sans cesse les mêmes types de lancer.
Le nombre d’objets nécessaires pour jongler la séquence est la moyenne arithmétique des nombres de la notation. Ainsi, 441 est jonglé avec 3 objets car (4+4+1)/3 = 3, 86 sera jonglé avec 7 objets car (8 + 6)/2 = 7, 7531 avec 4 etc. Toute séquence valide a donc une moyenne arithmétique entière, mais ce n’est qu’une condition nécessaire et non suffisante. Toute séquence ayant une moyenne arithmétique entière est réorganisable en une séquence valide suivant le théorème de réorganisationBenoît Guerville, Théorème de réorganisation, janvier 2009..
Par convention, on note le siteswap en commençant par les nombres les plus grands. Ainsi les siteswaps 315, 153 et 531 seront uniformément notés 531.
État, transition et diagramme états-transitions Une séquence siteswap détermine un enchaînement de lancers dans le temps (point de vue diachronique). Mais il est également possible pour chaque temps de décrire l’état des objets en l’air, c’est-à-dire déterminer les temps auxquels chaque objet sera rattrapé et relancé (point de vue synchronique).
On associe ainsi à chaque temps un état en marquant chaque point du temps où l’objet sera rattrapé par un x et chaque point du temps où rien n’est encore prévu par un -. Considérons par exemple l’état des balles juste après le premier lancer dans le diagramme de droite. Nous savons qu’une balle atterrira au temps suivant, puis tout de suite une autre et enfin, nous venons de lancer une balle qui atterrira au cinquième temps. On note ainsi l’état xx—x et on lit de gauche à droite en suivant la flèche du temps. On peut maintenant se servir de cet état pour déterminer les possibilités du prochain lancer. Nous commencerons par enlever le x sur la gauche (la balle qui atterrit au prochain temps) et rajouter un - sur la droite. On obtiendra ainsi x—x- : ceci correspond à l’état virtuel des balles lorsque le jongleur a rattrapé la balle mais ne l’a pas encore relancée. Grâce à cette opération nous pouvons déterminer exhaustivement les lancers possibles. Comme nous venons de rattraper une balle, nous ne pouvons faire un 0. Nous ne pouvons pas non plus faire un 1 puisque nous avons déjà une balle qui sera rattrapée pour ce temps (le premier x). Il en va de même pour le 4 (quatrième x). Nous pouvons par contre effectuer un 2, un 3 ou un 5. Si, comme le jongleur du diagramme nous choisissons de faire un 3, l’état suivant sera x-xx- (il suffit de remplacer le - en position 3 par un x).
De cette façon il est possible de faire l’inventaire de tous les états possibles pour un nombre d’objets donné et une valeur maximale de lancer donnée et de déterminer les lancers possibles à partir de chaque état. Le diagramme de gauche montre tous les états possibles pour 3 objets et un lancer maximal de 5. Ce diagramme répertorie ainsi tous les siteswaps possibles dans ces conditions. Il suffit de partir d’un état et de suivre les flèches à sa guise et lorsque l’on est revenu au point de départ on a obtenu un siteswap valide. Tous les siteswap peuvent être répertoriés par ce biais. Cependant, le diagramme devient vite extrêmement complexe à mesure qu’augmente la hauteur des lancers. On utilise alors d’autres types de diagramme d’état.
7 11 13 14 19 21 22 25 26 28(7) 111 3 4 5 (11) 1011 2 4 5 (13) 1101 1 4 5 (14) 1110 0 (19) 2 3 5 (21) 1 3 5 (22) 0 (25) 1 2 5(26) 0 (28) 0 Table états-transitions pour 3 objets, valeur de lancer maximum 5.
La notation des états est de fait binaire, pour chaque temps il n’est que deux valeurs possibles : souvent on écrit 0 et non - et 1 au lieu de x. Ainsi, l’état x x - - x peut être noté . On peut même le convertir en système décimal et le noter 25. Cependant, pour des raisons techniques d’allègement des calculs, lorsqu’on passe au système binaire, il est d’usage d’opérer une seconde transformation. Étant donné que le bit faible se lit à droite dans la notation binaire et qu’il est le plus à même de correspondre à un objet rattrapé au temps suivant, on change le sens d’écriture. Ainsi, l’état noté x x - - x dans les diagrammes précédents sera finalement noté et non et correspondra à 19 et non 25 en système décimal. Ainsi le décalage temporel opéré pour déterminer les possibilités du prochain lancer correspondra à une simple division entière par deux (l’état virtuel suivant sera 9 ou 1001, précédemment noté x - - x -). La table états-transitions utilise cette transformation : elle contient sous une autre forme les mêmes informations que le diagramme précédent. Les lignes donnent tous les lancers possibles pour changer d’état et les colonnes indiquent l’état résultant. Comme pour le diagramme précédent, lorsqu’on revient à l’état de départ, on a produit un siteswap valide.