En automatique, une représentation d'état permet de modéliser un système dynamique en utilisant des variables d'état. Cette représentation, qui peut être linéaire ou non, continue ou discrète, permet de déterminer l'état du système à n'importe quel instant futur si l'on connaît l'état à l'instant initial et le comportement des variables exogènes qui influent sur le système. La représentation d'état du système permet de connaître son comportement "interne" et pas seulement son comportement "externe" comme c'est le cas avec sa fonction de transfert.. Pour un bref historique de la représentation d'état, voir Histoire de l'automatique.
Variables d'état Un système peut être entièrement décrit à l'aide d'un ensemble de variables. Les variables d'état sont des grandeurs, qui le plus souvent ont une signification physique, et qui sont rassemblées dans un vecteur . La connaissance de toutes les variables d'état à un instant quelconque ainsi que de l'entrée sur un intervalle , où est arbitraire, permet de connaître la valeur de toutes les variables du système à l'instant . Le nombre de variables d'état, désigné par la lettre n, est l'ordre du système.
Systèmes linéaires
Représentations alt=|framed|Représentation d'état matricielle Dans la première partie de cet article nous ne considèrerons que des systèmes linéaires temps-invariants (ou stationnaires).
La représentation d'état de ces systèmes, quand ils sont à temps continu, s'écrit de la manière suivante, . :
: colonne qui représente les n variables d'état : colonne qui représente les m commandes : colonne qui représente les p sorties : Matrice d'état : Matrice de commande : Matrice d'observation : Matrice d'action directe
Les colonnes , et représentent des vecteurs et dans des bases des espaces vectoriels et , appelés espace d'état, espace des commandes et espace des sorties, et isomorphes à et respectivement.
De même les matrices , , et représentent des applications linéaires , , et , respectivement, dans les bases considérées.
Les vecteurs , et vérifient les équations
Dans certains cas, la représentation d'état matricielle introduite en premier lieu sera la plus commode ; dans d'autres, celle mettant en jeu des vecteurs et des applications linéaires, et appelée représentation d'état intrinsèque (elle est également dite géométrique.) sera plus appropriée.
Intégration de l'équation d'état
L'état du système est un résumé exhaustif du passé du système. En effet, connaissant l'état , et la commande sur l'intervalle fini , on peut exprimer l'état , grâce aux calculs sur l'exponentielle d'une matrice :
Changement de base Considérons le changement de variable , avec et inversible. Ce changement de variable correspond à un changement de base dans l'espace d'état. Le système se récrit donc comme suit :
On voit donc qu'il existe une infinité de représentations matricielles d'un système d'état. En revanche, la représentation intrinsèque est unique.
Pôles et stabilité
Pôles
Les valeurs propres de la matrice d'état (ou, de manière équivalente, de l'endomorphisme représenté par cette matrice) sont les pôles du système. Soit p un pôle ; son ordre q est défini comme étant le degré maximal des diviseurs élémentaires de la matrice polynômiale multiples du polynôme , ou encore l'ordre de multiplicité de p en tant que racine du polynôme minimal de A, soit encore l'ordre maximal des blocs de Jordan de A ayant pour valeur propre p.
Cette dernière caractérisation et l'application de la réduction de Jordan à la théorie de systèmes différentiels montre que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) le système a un pôle p d'ordre supérieur ou égal à q ; (ii) avec u=0, il existe un état initial tel que l'équation d'état a une solution de la forme .
Stabilité
De ce qui précède, il résulte les propositions suivantes :
Le système est asymptotiquement stable si, et seulement si ses pôles sont tous situés dans le demi-plan gauche ouvert (c'est-à-dire ont tous une partie réelle strictement négative). Il s'agit également de la condition nécessaire et suffisante pour que le système soit exponentiellement stable.
Le système est stable (au sens de Lyapunov) si, et seulement si ses pôles sont tous dans le demi-plan gauche fermé (c'est-à-dire ont tous une partie réelle négative ou nulle), ceux situés sur l'axe imaginaire (s'il en existe) étant simples (c'est-à-dire d'ordre 1).
Propriétés structurelles La commandabilité et l'observabilité sont des propriétés structurelles du système qui n'apparaissent pas dans la représentation par fonction de transfert.
Commandabilité et stabilisabilité
Un système est dit commandable si pour tout intervalle de temps , et tous points , avec , il existe une commande appliquée sur , telle que .
La condition nécessaire et suffisante de commandabilité ci-après est appelée le critère de Kalman pour la commandabilité. Le système considéré est commandable si et seulement si :
La matrice ci-dessus, notée , est communément appelée matrice de commandabilité, et ses colonnes se calculent de façon itérative : . En termes intrinsèques on définit le sous-espace commandable de l'espace d'état suivant
où est l'image de , et le système est donc commandable si, et seulement si . On dit alors, par abus de langage, que (ou, de manière équivalente, ) est commandable. Quand ce n'est pas le cas, soit le rang de la matrice , c'est-à-dire la dimension de l'espace commandable , une base de et une base d'un sous-espace supplémentaire de dans . En choisissant dans la base , quelle que soit la base choisie dans , les applications linéaires et sont représentées par des matrices de la forme
où est commandable et où l'astérisque est une sous-matrice dont les éléments sont quelconques. Les valeurs propres de sont les pôles (ou modes) non commandables du système, également appelés ses zéros de découplage en entrée (z.d.e.). L'ordre de la matrice est et celui de la matrice est .
Le système est dit stabilisable si ses pôles non commandables appartiennent tous au demi-plan gauche ouvert. Un système commandable est donc stabilisable.
Un critère commode pour étudier la commandabilité et la stabilisabilité d'un système est le test de Popov-Belevich-Hautus (PBH): le système est commandable (resp. stabilisable) si, et seulement si le rang de la matrice est égal à pour tout (resp. pour tout dans le demi-plan droit fermé).
Les pôles non commandables sont également les valeurs de pour lesquelles le rang de la matrice est , autrement dit ce sont les racines des facteurs invariants de cette matrice. Soit p un pôle non commandable. Son ordre q est par définition le degré maximal des diviseurs élémentaires de multiples du polynôme (c'est aussi l'ordre de multiplicité de p en tant que racine du polynôme minimal de , soit encore l'ordre maximal des blocs de Jordan de ayant pour valeur propre p.).
Cette dernière caractérisation montre (comme, plus haut, à propos des pôles du système) que les conditions suivantes sont équivalentes :
le nombre complexe p est un pôle non commandable d'ordre supérieur ou égal à q ; il existe un état initial tel que pour toute commande indéfiniment dérivable u, l'équation d'état a une solution de la forme .
Observabilité et détectabilité
Un système est dit observable si l'observation de ses entrées et sorties pendant un intervalle de temps fini permet de déterminer l'état initial , et donc, par intégration de l'équation d'état, de connaître à tout instant appartenant à l'intervalle . La condition nécessaire et suffisante d'observabilité ci-après est appelé le critère de Kalman pour l'observabilité. Le système considéré est observable si et seulement si :
Cette matrice notée est communément appelée matrice d'observabilité et ses lignes se calculent de façon itérative : . En termes intrinsèques, on définit le sous-espace non observable suivant
et le système (ou, par abus de langage, , ou ) est donc observable si, et seulement si (où 0 désigne le sous-espace vectoriel de réduit au seul élément nul). Quand ce n'est pas le cas, soit la dimension de ( étant donc le rang de ), une base d'un sous-espace supplémentaire de , et une base de . En choisissant dans la base , quelle que soit la base choisie dans , les applications linéaires et sont représentées par des matrices de la forme
où est observable.
Les valeurs propres de sont les pôles (ou modes) non observables du système, également appelés des zéros de découplage en sortie (z.d.s.). L'ordre de la matrice est et celui de la matrice est .
Le système est dit détectable si ses pôles non observables appartiennent tous au demi-plan gauche ouvert. Un système observable est donc détectable.
Il existe également le test de Popov-Belevich-Hautus (PBH) pour caractériser l'observabilité et la détectabilité: le système est observable (resp. détectable) si, et seulement si le rang de la matrice
est égal à pour tout (resp. pour tout dans le demi-plan droit fermé).
Les pôles non observables sont également les valeurs de pour lesquelles le rang de la matrice ci-dessus est , autrement dit ce sont les racines des facteurs invariants de cette matrice. L'ordre d'un pôle non observable se définit comme celui d'un pôle non commandable, mutatis mutandis.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
le nombre complexe p est un pôle non observable d'ordre supérieur ou égal à q ; avec , il existe un état initial tel que est une solution de l'équation d'état, tandis que la sortie y est identiquement nulle.
Décomposition de Kalman
Écrivons maintenant où , est un supplémentaire de dans , est un supplémentaire de dans et est un supplémentaire de dans . En choisissant dans une base formée de la concaténation de bases des sous-espaces ci-dessous, les applications linéaires , et sont représentées (quelles que soient les bases choisies dans et ) par des matrices de la forme,
où
est commandable et
est observable. On vérifie sans difficulté que la matrice de transfert du système est
où est la dimension de l'espace vectoriel . Par conséquent, la matrice de transfert ne dépend que de la partie commandable et observable du système.
Modes cachés
Considérons de nouveau le système linéaire donné par la représentation d'état ci-dessus. Les propriétés suivantes sont équivalentes:
Le système est à la fois observable et commandable. Les pôles du système (autrement dit, les valeurs propres de ) coïncident avec ses pôles de transmission (autrement dit, les pôles de sa matrice de transfert), en prenant en compte les multiplicités.
Le système est dit minimal quand ces propriétés équivalentes sont satisfaites.
Considérons la décomposition de Kalman de ce système. On a, puisque les valeurs propres d'une matrices restent inchangées par changement de base,
où désigne le spectre de la matrice entre parenthèses, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres (répétées un nombre de fois égal à leur multiplicité) et où est la réunion disjointe. D'autre part, avec les notations qui précèdent,
par conséquent, où ( désignant le complémentaire de dans lorsque ).
Les éléments de (resp. ) s'appellent les modes cachés (resp. les zéros de découplage en entrée-sortie (z.d.e.s.)). La dernière égalité s'écrit
,
tandis que la précédente s'écrit, en désignant par (resp. ) les pôles du système (resp. ses pôles de transmission)
.
On peut montrer que ces deux dernières relations sont intrinsèques.
Zéros
Zéros invariants
Considérons la matrice , appelée matrice de Rosenbrock ou matrice-système
.
Les racines dans le plan complexe des facteurs invariants de (multiplicités prises en compte) sont appelés les zéros invariants (z.i.) du système. Ce sont des objets intrinsèques qui sont invariants par retour d'état, d'où leur nom.
Soit z un zéro invariant. Son ordre q se définit comme étant le degré maximal des diviseurs élémentaires de multiples du polynôme .
Les conditions suivantes sont équivalentes. :