En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est définie comme la somme d'une série particulière, dont les applications à la théorie des nombres et en particulier à l'étude des nombres premiers se sont avérées essentielles. Cet article présente une histoire de la fonction zêta de Riemann, et de la compréhension qu'elle a permise de la répartition des nombres premiers.
Introduction : les nombres premiers et la fonction zêta
Un nombre entier naturel (positif) est dit premier s'il admet exactement deux diviseurs distincts (1 et lui-même). Le nombre 1 n'est pas premier. C'est dans l'Antiquité que furent découverts les nombres premiers, probablement au moment de l'invention des fractions. Le rôle des nombres premiers est fondamental en arithmétique par suite du théorème de décomposition, connu dès l'Antiquité, qui énonce que tout entier positif est le produit de nombres premiers (de façon unique), s'il n'est lui-même premier.
Les nombres premiers, initialement rencontrés dans la simplification des fractions, jouent un rôle dans les structures finies telles que l'anneau (Z/nZ, +, ×) qui est un corps commutatif si et seulement si n est premier.
On attribue traditionnellement à Euclide le théorème suivant : « Les nombres premiers sont plus nombreux que n'importe quelle multitude de nombres premiers proposée » qu'on traduit aujourd'hui en l'énoncé « Il existe une infinité de nombres premiers ».
Ce résultat ne résout cependant pas le problème fondamental de la théorie des nombres premiers : comment les trouver « sans peine » ? S'il existait une expression donnant facilement, pour chaque entier n, le nombre premier de rang n, la question de la répartition des nombres premiers ne se poserait pas. Mais la nature du problème fait qu'une telle expression est actuellement inconnue et restera probablement hors de portée pour longtemps (voir à ce sujet l'article détaillé Formules pour les nombres premiers). Cet article montre comment historiquement une fonction mathématique compliquée, la fonction zêta de Riemann, est apparue dans ce contexte et la façon dont elle a permis de faire évoluer la connaissance des nombres premiers.
Par la suite, cette fonction a été étudiée pour elle-même, passant ainsi d'outil d'analyse au statut d'objet mathématique d'analyse.
L'histoire mathématique commence donc dans l'Antiquité grecque par la recherche des nombres premiers. Elle se poursuit à l'époque de la Renaissance européenne (qu'on poussera jusqu'au ) par l'apparition de différentes questions dont le lien avec les nombres premiers n'est pas immédiat, mais se dégagera avec le temps aboutissant à la fonction zêta de Riemann d'aujourd'hui.
Le crible d'Ératosthène
On ne connait de l'Antiquité que le célèbre crible d'Ératosthène, qui permet de trouver sans trop d'efforts les nombres premiers inférieurs à une limite donnée, à condition que la limite ne soit pas trop grande.
On construit un tableau contenant les entiers jusqu'à la limite voulue, et on raye à partir de 2 tous les entiers de deux en deux.
Le plus petit entier n qui n'est pas rayé est premier. À partir de celui-ci, on raye les entiers du tableau de n en n. Et on recommence, le plus petit des entiers restant est premier…
La formule du crible
La méthode du crible d'Ératosthène débouche sur une formule appelée formule du crible et attribuée à et James Joseph Sylvester, mais très probablement beaucoup plus ancienne sous une forme ou sous une autre.
Formule du crible de da Silva et Sylvester
Dans l'ensemble {1, 2, … , n}, soient P, P, … , P relations portant sur ces entiers et le nombre des entiers qui satisfont à r relations P.
Alors, le nombre des entiers qui ne satisfont à aucune des relations P est donné par la formule
Donnons un exemple : Le nombre des entiers plus petits que qui ne sont pas divisibles par les nombres , supposés premiers entre eux deux à deux est égal à
où ⌊x⌋ désigne la partie entière de x.
Cette formule du crible se généralise en un procédé systématique appelé méthode du crible, inauguré en 1919 par Viggo Brun et son fameux résultat : « La série des inverses des nombres premiers jumeaux est convergente. »
Depuis, la méthode du crible de Brun a été améliorée (crible de Selberg, entre autres).
Les conjectures non démontrées
Le crible d'Érathostène ne fournissant (du moins de manière immédiate) aucune information sur la répartition des nombres premiers, les chercheurs ont proposé, à défaut d'une formule donnant le n-ième nombre premier ou une formule permettant de dire à coup sûr si un nombre est premier, des formules donnant toujours des nombres premiers ou des propriétés similaires.
L'univers des nombres premiers est riche de conjectures non démontrées telles que : la conjecture de Goldbach : « Tout entier pair plus grand que 4 est la somme de deux nombres premiers » la conjecture des nombres parfaits : « Tout nombre parfait est de la forme décrite par Euclide, donc pair », date de 1496; elle est due à Jacques LefèvreLeonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. I, ..
On a progressé dans l'étude de ces deux conjectures en montrant, pour la première, que tout nombre impair assez grand est somme de trois nombres premiers, et pour la seconde, que tout nombre parfait impair admet au moins 21 diviseurs.
Après Euclide, ni l'Antiquité ni le Moyen Âge, ni même le début de la Renaissance, n'ont fait progresser l'étude de la répartition des nombres premiers. Une analyse de la liste des nombres premiers laisse penser que ceux-ci sont répartis au hasard et sans ordre particulier. Tel était l'avis de ceux qui s'étaient alors intéressés à cette question. Pierre de Fermat lui-même n'a énoncé aucune conjecture concernant cette répartition. On a cherché longtemps une formule produisant tous les nombres premiers, et un algorithme simple capable de décider si un nombre entier est premier. Sans beaucoup de succès. Les formules obtenues (il y en a), sont le plus souvent basées sur le théorème de Wilson ou un résultat analogue, ce qui en rend l'usage impossible en pratique.
Premières occurrences de la fonction zêta Le problème de Bâle
C'est en 1644 que Pietro Mengoli pose une question qui va mener tout droit à la fonction : combien vaut la somme de la série numérique ?
On prétend que Tartaglia avait déjà rencontré ce problème (et aussi qu'il savait que la somme de la série harmonique, , est infinieLa démonstration de ce dernier résultat est due à Nicole Oresme.). Ni Leibniz, ni les Bernoulli, ne réussissent à sommer la série, ni James Stirling, qui a publié sa célèbre formule en 1730Methodus differentialis, sive Tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum, auctore Jacobo Stirling. G. Bowyer, impensis G. Strahan (Londini), 1730., dans un ouvrage qui traite justement de la sommation des séries numériques, et dans lequel il n'en donne qu'une somme approchée par une méthode d'accélération de convergence.
Leonhard Euler
Leonhard Euler, en 1731 (E20), publié en 1738., en calcule la somme à 10 près et conjecture, en 1735 (E41), publié en 1470., qu'elle vaut /6. C'est finalement en 1743 (E63)., par une interversion série-intégrale Ed Sandifer, How Euler did it, « Basel Problem with Integrals », mars 2004., qu'il obtient la première justification rigoureuse de cette conjecture :
Il en restera très fier et dira même que si un seul de ses travaux devait être conservé, que ce soit celui-ci. Mais il ne s'arrête pas à ce résultat, et, utilisant les nombres , appelés depuis nombres de Bernoulli, il trouve finalement la formule générale
et définit la fonction zêta, notée , sur les réels supérieurs à 1 par
À l'aide de manipulations de séries divergentes, il réussit également à définir et à calculer la valeur de pour les entiers négatifs et trouve ainsi une forme particulière de ce qui sera la relation fonctionnelle de la fonction zêta.
Il ne réussira pas à calculer mais trouvera cette curieuse formule qui fait le lien avec la théorie des nombres premiers, et qu'on appelle depuis un produit eulérien :
où le produit infini est effectué sur l'ensemble des entiers premiers.
Par conséquent, il existe un lien, inconnu jusque-là, entre les nombres premiers et la fonction .
Euler en profite pour donner une nouvelle démonstration de l'infinitude des nombres premiers, en considérant la valeur particulière . En effet la série harmonique est divergente, ce qui est incompatible avec un nombre fini de facteurs dans le produit eulérien.
Enfin, il montre que la série des inverses des nombres premiers est divergente, ou pour être plus fidèle à son travail, que sa somme est le logarithme du logarithme de l'infini. Euler considère en effet l'infini, , comme un nombre un peu particulier qu'il manipule librement. Pour cela il calcule le logarithme de : d'une part comme le logarithme de la série harmonique, qui est donc pour lui le logarithme du logarithme de l'infini, et d'autre part à partir du produit eulérien, en développant audacieusement le logarithme en série de Taylor en (et non pas autour de) (E72), présenté en 1737.. Il trouve ainsi deux termes, la somme qu'il veut estimer et la série convergente Ce qui lui permet d'affirmer :
Cependant, Euler écrit en 1751 : Les mathématiciens ont tâché jusqu'ici en vain de découvrir quelque ordre dans la progression des nombres premiers, et l'on a lieu de croire que c'est un mystère auquel l'esprit humain ne saurait jamais pénétrer. Pour s'en convaincre, on n'a qu'à jeter les yeux sur les tables des nombres premiers que quelques-uns se sont donné la peine de continuer au-delà de cent mille et l'on apercevra d'abord qu'il n'y règne aucun ordre ni règle.
qui exprime bien l'état de découragement des mathématiciens depuis mille ans devant cette question qui ne progresse guère.
Les travaux de Legendre
Euler n'allait pas tarder à être démenti. Quand on est confronté à une fonction ayant des variations qui semblent anarchiques, la première idée qui vient est d'essayer de lisser ces données. Un tel lissage peut être une moyenne, éventuellement mobile, mais on peut aussi s'intéresser à la somme de ces valeurs ou au simple comptage du nombre de termes dans un intervalle donné. C'est l'idée initiale de Adrien-Marie Legendre qui cherche une formule approchée pour le nombre de nombres premiers plus petits que x, qu'on appelle aujourd'hui la fonction de compte des nombres premiers et qu'on note . Et il propose. pour l'approximationpour deux constantes et bien choisies.Et, par un argument heuristique, que le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à et contenus dans la progression arithmétique , avec et premiers entre eux, satisfait (si l'on utilise une notation moderne)où est le nombre d'entiers premiers avec et inférieurs à . Legendre publie dans son Essai sur la théorie des nombresédition de 1808, page 394. la première forme de ce qui va devenir le théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin en 1896. Il propose maintenant pour l'approximation plus expliciteLe nombre 1,083 66… est depuis appelé nombre de Legendre.